受動システムの並列相互接続

この例では、受動システムの並列相互接続のプロパティについて説明します。

受動システムの並列相互接続

2 つのサブシステム $$G_1$$ と $$G_2$$ の並列の相互接続について考えます。相互接続されたシステム $$H$$ は入力 $$r$$ を出力 $$y$$ にマッピングします。

システム $$G_1$$ と $$G_2$$ がともに受動的である場合、相互接続されたシステム $$H$$ は受動的となることが保証されます。以下に例を示します。

$$G_1(s)=\frac{0.1s+1}{s+2};G_2(s)=\frac{s^2+2s+1}{s^2+3s+10}$$.

両方のシステムは受動的です。

G1 = tf([0.1,1],[1,2]);
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,2,1],[1,3,10]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

このため、これらの並列相互接続 $$H$$ は、次で確認されるとおりに受動的であると予測できます。

H = parallel(G1,G2);
isPassive(H)

ans = logical
   1

並列相互接続の受動性インデックス

$$G_1$$ と $$G_2$$ の受動性インデックスと、相互接続されたシステム $$H$$ の受動性インデックスとの間には関係性があります。$${\nu }_1$$ と $${\nu }_2$$ で $$G_1$$ と $$G_2$$ の入力受動性インデックスを表し、$${\rho }_1$$ と $${\rho }_2$$ で出力受動性インデックスを表します。すべてのインデックスが非負の場合、並列相互接続 $$H$$ の入力受動性インデックス $$\nu$$ と出力受動性インデックス $$\rho$$ は次を満たします。

$$\nu \ge {\nu }_1+{\nu }_2,\rho \ge \frac{{\rho }_1{\rho }_2}{{\rho }_1+{\rho }_2}.$$

つまり、$$G_1$$ と $$G_2$$ の入出力受動性インデックスから、並列接続 $$H$$ の最小レベルの入出力受動性を一部推測できます。詳細については、Yu, H. による論文 "Passivity and dissipativity as design and analysis tools for networked control systems," Chapter 2, PhD Thesis, University of Notre Dame, 2012. を参照してください。入力受動性インデックス $$\nu$$ の下限を確認します。

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Input passivity index for H
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = 
0.3777

% Lower bound
nu1+nu2

ans = 
0.1474

同様に、$$H$$ の出力受動性インデックスの下限を確認します。

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Output passivity index for H
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = 
0.6443

% Lower bound
rho1*rho2/(rho1+rho2)

ans = 
0.2098

参考

getPassiveIndex | isPassive

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