ゲイン スケジュール PI コントローラーの解析

この例では、線形パラメーター変動システムのゲイン スケジュール PI 制御を解析します。この例は [1] および [2] を基にしています。

プラント $\mathit{G}\left(\rho \right)$ は、ダイナミクスがパラメーター $\rho$ に依存する 1 次システムです。

$$\dot{\mathit{x}}=-\frac{1}{\tau \left(\rho \right)}\mathit{x}+\frac{1}{\tau \left(\rho \right)}\mathit{u}$$

$$\mathit{y}=\mathit{c}\left(\rho \right)\mathit{x}$$

ここで、以下となります。

$$\tau \left(\rho \right)=\sqrt{133.6-16.8\rho }$$

$\mathit{c}\left(\rho \right)=\sqrt{4.8\rho -8.6}$

パラメーター $\rho$ は、区間 [2,7] に制限されています。次の相互接続図に示すように、プラント $\mathit{G}\left(\rho \right)$、ゲイン スケジュール PI コントローラー $\mathit{K}\left(\rho \right)$、むだ時間 ${\mathit{T}}_{\mathit{d}}=0.5$ 秒で閉ループ システムが構成されます。

LPV プラント

lpvss を使用して LPV プラントのモデルを作成します。関数 plantFcnGSPI は、状態空間行列とオフセットを時間 t およびパラメーター rho の関数として返します。この関数のコードを表示するには、ファイル plantFcnGSPI.m を開くか、コマンド ラインで「type plantFcnGSPI」と入力します。

G = lpvss('rho',@plantFcnGSPI);

ゲイン スケジュール PI コントローラー

ゲイン スケジュールの比例積分 (PI) コントローラー $\mathit{K}\left(\rho \right)$ は、領域 $\rho \in \left[2,7\right]$ において閉ループの減衰比 ${\zeta }_{\mathit{d}}=0.7$ および固有振動数 ${\omega }_{\mathit{d}}=0.25$ を達成するように設計されています。このコントローラーは 2 つの異なる形式で作成できます。

• コントローラー ${\mathit{K}}_1$ では、積分器の入力に積分ゲインがあります。

$${\dot{\mathit{x}}}_{\mathit{c}}={\mathit{K}}_{\mathit{i}}\left(\rho \right)\mathit{e}$$

$\mathit{u}={\mathit{x}}_{\mathit{c}}+{\mathit{K}}_{\mathit{p}}\left(\rho \right)\mathit{e}$

• コントローラー ${\mathit{K}}_2$ では、積分器の出力に積分ゲインがあります。

$${\dot{\mathit{x}}}_{\mathit{c}}=\mathit{e}$$

$\mathit{u}={\mathit{K}}_{\mathit{i}}\left(\rho \right){\mathit{x}}_{\mathit{c}}+{\mathit{K}}_{\mathit{p}}\left(\rho \right)\mathit{e}$

これらの形式は、$\rho$ と ${\mathit{K}}_{\mathit{i}}$ が定数であれば等価です。ただし、パラメーターが時間によって変化する場合は 2 つの形式で入出力応答が異なります。この例では、これらの 2 つのオプションの閉ループ性能を比較します。

この例では、これらの 2 つのコントローラーのコードがファイル k1FcnGSPI.m および k2FcnGSPI.m に用意されています。lpvss を使用して 2 つのコントローラーを作成します。

K1 = lpvss('rho',@k1FcnGSPI);
K2 = lpvss('rho',@k2FcnGSPI);

閉ループ モデル

コントローラー ${\mathit{K}}_1$ および ${\mathit{K}}_2$ を使用して、相互接続図に示す閉ループ LPV モデルを作成します。

遅延の 2 次パデ近似を使用します。

Td = 0.5;
[n,d] = pade(Td,2);
H = tf(n,d);

閉ループ モデルを作成します。

CL1 = feedback(G*H*K1,1);
CL2 = feedback(G*H*K2,1);

LTI の解析

いくつかの $\rho$ の固定値について、閉ループ応答を評価します。

3 つの rho 値で LPV システムをサンプリングします。

Nvals = 3;
pvals = linspace(2,7,Nvals);
CL1vals = sample(CL1,[],pvals);
CL2vals = sample(CL2,[],pvals);

$\rho$ の固定値における相補感度のボード応答をプロットします。

bode(CL1vals,'b',CL2vals,'r--',{1e-2,1})

予想どおり、$\rho$ が定数の場合、積分ゲインの位置はコントローラーに影響しません。したがって、2 つの閉ループ応答は LTI の場合は同一です。

LPV の解析

1 つの特定のパラメーターの軌跡に沿って $\mathit{r}$ から $\mathit{y}$ までの閉ループ ステップ応答を生成します。

パラメーターの軌跡を指定します。

t = linspace(0,30,1e3);
rho = interp1([0 10 30],[2 7 7],t);
plot(t,rho,'b')
grid on
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('\rho')
title('Parameter Trajectory for Step Response')

ステップ応答をプロットします。

step(CL1,CL2,t,rho)
grid on
title('Step Responses for Parameter Trajectory');
legend('Ki at input (K1)','Ki at output (K2)','Location','Best');

2 つの閉ループのシミュレーションに相違があります。これは、ゲイン スケジュール制御での積分器の配置により、パラメーターが変化したときに違いが生じることを示しています。

プラントとコントローラーのデータ関数

type plantFcnGSPI.m

function [A,B,C,D,E,dx0,x0,u0,y0,Delays] = plantFcnGSPI(t,rho) 
% LPV data for plant
rho = max(2,min(rho,7));  % keep rho in range [2,7]
tau = sqrt(133.6-16.8*rho);
A = -1/tau;
B = 1/tau;
C = sqrt(4.8*rho-8.6);
D = 0;
E = [];

% No offsets or delays
dx0 = [];  x0 = [];  u0 = []; y0 = [];
Delays = [];
end

type k1FcnGSPI.m

function [A,B,C,D,E,dx0,x0,u0,y0,Delays] = k1FcnGSPI(t,rho) 
% LPV data for PI controller K1
tau = sqrt(133.6-16.8*rho);
c = sqrt(4.8*rho-8.6);

% PI Gains
sigma = 0.7;
wcl = 0.25;
Kp = (2*sigma*wcl*tau-1)/c;
Ki = wcl^2*tau/c;

% State-space and offset data: Ki at the input
A = 0;
B = Ki;
C = 1;
D = Kp;
E = [];

% No offsets or delays
dx0 = [];  x0 = [];  u0 = []; y0 = [];
Delays = [];
end

type k2FcnGSPI.m

function [A,B,C,D,E,dx0,x0,u0,y0,Delays] = k2FcnGSPI(t,rho) 
% LPV data for PI controller K2
tau = sqrt(133.6-16.8*rho);
c = sqrt(4.8*rho-8.6);

% PI Gains
sigma = 0.7;
wcl = 0.25;
Kp = (2*sigma*wcl*tau-1)/c;
Ki = wcl^2*tau/c;

% State-space and offset data: Ki at the output
A = 0;
B = 1;
C = Ki;
D = Kp;
E = [];

% No offsets or delays
dx0 = [];  x0 = [];  u0 = []; y0 = []; % no offsets
Delays = [];
end

参考文献

1. Tan, Shaohua, Chang-Chieh Hang, and Joo-Siong Chai. “Gain Scheduling: From Conventional to Neuro-Fuzzy.” Automatica 33, no. 3 (March 1997): 411–19. https://doi.org/10.1016/S0005-1098(96)00162-8.

2. Pfifer, Harald, and Peter Seiler. “Robustness Analysis of Linear Parameter Varying Systems Using Integral Quadratic Constraints.” International Journal of Robust and Nonlinear Control 25, no. 15 (October 2015): 2843–64. https://doi.org/10.1002/rnc.3240.

参考

lpvss | sample

トピック

• LTV モデリングと LPV モデリング
• MATLAB および Simulink での LTV モデルと LPV モデルの使用
• エンジン スロットルの LPV モデル
• ゲイン スケジュール LQG コントローラー
• ゲイン スケジュール制御の隠れ結合
• 磁気浮上システムの LPV モデル