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むだ時間をもつシステムの解析

stepbodemargin などの解析コマンドを使用して、むだ時間をもつシステムを解析できます。このような解析では、近似はまったく行われません。

たとえば、次の制御ループについて考えます。プラントは 1 次としてモデル化され、むだ時間が加えられています。

次のコマンドで r から y への閉ループ システムをモデル化できます。

s = tf('s');
P = 5*exp(-3.4*s)/(s+1);
C = 0.1 * (1 + 1/(5*s));
T = feedback(P*C,1);

T は内部遅延のある状態空間モデルです。内部遅延のあるモデルの詳細は、むだ時間のある閉フィードバック ループを参照してください。

T のステップ応答をプロットします。

stepplot(T)

複雑な相互接続には、各ブロックの入力信号と出力信号に名前を付け、関数 connect を使用して、配線を自動管理できます。たとえば、前に使用したモデルの制御ループにフィードフォワード制御を加えるとします。

対応する閉ループ モデル Tff を次のように導出できます。

F = 0.3/(s+4);
P.InputName = 'u';  
P.OutputName = 'y';
C.InputName = 'e';  
C.OutputName = 'uc';
F.InputName = 'r';  
F.OutputName = 'uf';
Sum1 = sumblk('e','r','y','+-');    % e = r-y
Sum2 = sumblk('u','uf','uc','++');  % u = uf+uc
Tff = connect(P,C,F,Sum1,Sum2,'r','y');

さらに、その応答をフィードバックのみの設計と比較します。

stepplot(T,Tff)
legend('No feedforward','Feedforward')

状態空間表現は、両方のモデルで内部遅延を記録します。

内部むだ時間を含むシステムを解析する際の注意事項

遅延のない LTI 解析にのみ慣れている場合は、遅延のあるシステムの時間と周波数応答は正常ではないように思われることがあります。時間応答は無秩序に挙動し、ボード線図はゲインの振動などを示すことがあります。これらの予測できない挙動はソフトウェアや数値が原因ではなく、このようなシステムの実際の特性です。以下では、これらの現象の例をいくつか説明します。

ゲイン リップル:

s = tf('s');
G = exp(-5*s)/(s+1);
T = feedback(G,.5);
bodemag(T)

ゲイン振動:

G = 1 + 0.5 * exp(-3*s);
bodemag(G)

ギザギザのステップ応答:

G = exp(-s) * (0.8*s^2+s+2)/(s^2+s);
T = feedback(G,1);
stepplot(T)

初期ステップ関数の再出現 (繰り返し) に注意してください。

カオス応答:

G = 1/(s+1) + exp(-4*s);
T = feedback(1,G);
stepplot(T,150)

Control System Toolbox™ のツールを使用すると、内部遅延のこのような珍しいアーティファクトをモデル化して解析できます。

関連する例

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