taylor

テイラー級数

構文

T = taylor(f,var)

T = taylor(f,var,a)

T = taylor(___,Name=Value)

説明

T = taylor(f,var) は、点 var = 0 において、f のテイラー級数展開を使用して最大 5 階まで f を近似します。var を指定しない場合、taylor は symvar(f,1) によって決定される既定の変数を使用します。

T = taylor(f,var,a) は、点 var = a において f のテイラー級数展開を使用して f を近似します。

T = taylor(___,Name=Value) は、前述の構文の入力引数の組み合わせのいずれかに加えて、1 つ以上の名前と値の引数を使用して、オプションを指定します。たとえば、テイラー級数展開の展開点、打ち切り階数、または階数モードを指定できます。

例

一変数式のマクローリン級数の計算

指数、正弦および余弦関数のマクローリン級数展開を最大 5 階まで求めます。

syms x
T1 = taylor(exp(x))

T1 = 
$$\frac{x^5}{120}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+x+1$$

T2 = taylor(sin(x))

T2 = 
$$\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x$$

T3 = taylor(cos(x))

T3 = 
$$\frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{2}+1$$

関数 sympref を使用して、シンボリックな多項式の出力順序を変更できます。多項式を昇順で再表示します。

sympref("PolynomialDisplayStyle","ascend");
T1

T1 = 
$$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}$$

T2

T2 = 
$$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$$

T3

T3 = 
$$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$

sympref を使用して設定した表示形式は、現在およびこれ以降の MATLAB® セッションを通じて維持されます。既定値に戻すには "default" オプションを指定します。

sympref("default");

展開点の指定

次の関数の $\mathit{x}=1$ におけるテイラー級数展開を求めます。展開点の既定値は 0 です。異なる展開点を指定するには、ExpansionPoint を使用します。

syms x
T = taylor(log(x),x,ExpansionPoint=1)

T = 
$$x-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}+\frac{{\left(x-1\right)}^3}{3}-\frac{{\left(x-1\right)}^4}{4}+\frac{{\left(x-1\right)}^5}{5}-1$$

または、展開点を taylor の 3 番目の引数として指定します。

T = taylor(acot(x),x,1)

T = 
$$\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{4}-\frac{{\left(x-1\right)}^3}{12}+\frac{{\left(x-1\right)}^5}{40}+\frac{1}{2}$$

打ち切り階数の指定

f = sin(x)/x のマクローリン級数展開を求めます。既定の打ち切り階数は 6 です。この式のテイラー級数近似には 5 次の項がないため、taylor はこの式を 4 次多項式を使用して近似します。

syms x
f = sin(x)/x;
T6 = taylor(f,x);

Order を使用して、打ち切り階数を制御します。たとえば、最大 7 階と 9 階まで同じ式を近似します。

T8 = taylor(f,x,Order=8);
T10 = taylor(f,x,Order=10);

元の式 f とその近似 T6、T8 および T10 をプロットします。近似の精度が打ち切り階数によってどう変わるかがわかります。

fplot([T6 T8 T10 f])
xlim([-4 4])
grid on
legend("approximation of sin(x)/x with error O(x^6)", ...
       "approximation of sin(x)/x with error O(x^8)", ...
       "approximation of sin(x)/x with error O(x^{10})", ...
       "sin(x)/x",Location="Best")
title("Taylor Series Expansion")

相対打ち切り階数か絶対打ち切り階数かの指定

この式のテイラー級数展開を求めます。既定の設定では、taylor は計算された級数の打ち切り階数である絶対階数を使用します。

syms x
T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,Order=5)

T = 
$$-\frac{x^3}{3}$$

OrderMode を使用した相対打ち切り階数によるテイラー級数展開を求めます。式によっては、相対打ち切り階数がより正確な近似を提示する場合もあります。

T = taylor(1/exp(x) - exp(x) + 2*x,x,Order=5,OrderMode="relative")

T = 
$$-\frac{x^7}{2520}-\frac{x^5}{60}-\frac{x^3}{3}$$

多変数式のマクローリン級数の計算

この多変数式のマクローリン級数展開を求めます。変数のベクトルを指定しない場合、taylor は f を 1 つの独立変数の関数として処理します。

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f)

T = 
$$\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x+\cos \left(y\right)+{\mathrm{e}}^z$$

変数のベクトルを指定して、多変数マクローリン級数展開を求めます。

syms x y z
f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
T = taylor(f,[x,y,z])

T = 
$$\frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{6}+x+\frac{y^4}{24}-\frac{y^2}{2}+\frac{z^5}{120}+\frac{z^4}{24}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^2}{2}+z+2$$

関数 sympref を使用して、シンボリックな多項式の出力順序を変更できます。多項式を昇順で再表示します。

sympref("PolynomialDisplayStyle","ascend");
T

T = 
$$2+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24}+\frac{z^5}{120}-\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{24}+x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$$

sympref を使用して設定した表示形式は、現在およびこれ以降の MATLAB セッションを通じて維持されます。既定値に戻すには "default" オプションを指定します。

sympref("default");

多変数式の展開点の指定

変数のベクトルと展開点を定義する値のベクトルの両方を指定し、多変数テイラー級数展開を求めます。

syms x y
f = y*exp(x - 1) - x*log(y);
T = taylor(f,[x y],[1 1],Order=3)

T = 
$$x+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{2}$$

展開点をスカラー a として指定すると、taylor はそのスカラーを変数のベクトルと同じ長さのベクトルに変換します。展開ベクトルのすべての要素は、a と等しくなります。

T = taylor(f,[x y],1,Order=3)

T = 
$$x+\frac{{\left(x-1\right)}^2}{2}+\frac{{\left(y-1\right)}^2}{2}$$

テイラー近似での誤差推定

テイラー級数展開を使用して関数 $f\left(x\right)=\log (x+1)$ を近似するときの誤差推定を求めます。ここで、展開点 $\mathit{a}=0$ での最大 7 階までのテイラー近似 (打ち切り階数 $\mathit{n}=8$) について考えます。

テイラー近似の誤差または剰余は、次のラグランジュ形式で与えられます。

$${\mathit{R}}_{\mathit{n}-1}\left(\mathit{x}\right)=\frac{{\mathit{f}}^{\mathit{n}}\left(\mathit{c}\right)}{\mathit{n}!}{\left(\mathit{x}-\mathit{a}\right)}^{\mathit{n}}.$$

誤差推定の上限は、$\mathit{a}$ と $\mathit{x}$ の間のすべての $\mathit{c}$ に対して $\left|{\mathit{f}}^{\mathit{n}}\left(\mathit{c}\right)\right|\le \mathit{M}$ となるような正の実数 $\mathit{M}$ を求めることによって計算できます。

Order を 8 として指定して、関数 $f\left(x\right)=\log (x+1)$ のテイラー級数展開を最大 7 階まで求めます。

syms x
f = log(x+1)

f = $$\log \left(x+1\right)$$

T = taylor(f,Order=8)

T = 
$$\frac{x^7}{7}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x$$

テイラー近似の誤差を推定するには、最初に項 ${\mathit{f}}^8\left(\mathit{c}\right)$ を計算します。

syms c
fn(c) = subs(diff(f,8),x,c)

fn(c) = 
$$-\frac{5040}{{\left(c+1\right)}^8}$$

$\mathit{x}$ の正の値の場合、誤差推定の上限は、関係 $\left|{\mathit{f}}^8\left(\mathit{c}\right)\right|\le 5040$ を使用して計算できます ($\mathit{c}$ は正の値、かつ $0$ から正の $\mathit{x}$ の間になければならないため)。次に、${\mathit{R}}_7\left(\mathit{x}\right)$ のラグランジュと関係 $\left|{\mathit{f}}^8\left(\mathit{c}\right)\right|\le 5040$ を使用して、誤差推定 Rupper(x) の上限を求めます。

Rupper(x) = 5040*x^8/factorial(8)

Rupper(x) = 
$$\frac{x^8}{8}$$

点 $\mathit{x}=0.5$ でテイラー級数展開を評価します。テイラー近似で誤差推定の上限を求めます。

Teval = subs(T,x,0.5)

Teval = 
$$\frac{909}{2240}$$

Rmax = double(Rupper(0.5))

Rmax = 
4.8828e-04

比較のために、$\mathit{x}=0.5$ で当の関数を評価し、テイラー近似で剰余を求めます。

feval = subs(f,x,0.5)

feval = 
$$\log \left(\frac{3}{2}\right)$$

R = double(abs(feval-Teval))

R = 
3.3846e-04

入力引数

f — 近似する入力

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック多次元配列

近似する入力。シンボリック式またはシンボリック関数として指定します。これには、シンボリック式またはシンボリック関数のベクトル、行列または多次元配列を指定することもできます。

var — 展開変数

シンボリック変数

展開変数。シンボリック変数として指定します。var を指定しない場合、taylor は symvar(f,1) によって決定される既定の変数を使用します。

a — 展開点

0 (既定値) | 数値 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック関数 | シンボリック式

展開点。数値あるいはシンボリック数、変数、関数または式として指定します。展開点は展開変数では変更できません。展開点は名前と値の引数として指定することもできます。展開点を両方の方法で指定した場合、名前と値の引数が優先されます。

名前と値の引数

オプションの引数のペアを Name1=Value1,...,NameN=ValueN として指定します。ここで、Name は引数名で、Value は対応する値です。名前と値の引数は他の引数の後に指定しなければなりませんが、ペアの順序は重要ではありません。

例: taylor(log(x),x,ExpansionPoint=1,Order=9)

R2021a より前では、コンマを使用して名前と値の各ペアを区切り、Name を引用符で囲みます。

ExpansionPoint — 展開点

0 (既定値) | 数値 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック関数 | シンボリック式

展開点。数値あるいはシンボリック数、変数、関数または式として指定します。展開点は展開変数では変更できません。また、展開点は入力引数 a を使用して指定することもできます。展開点を両方の方法で指定した場合、名前と値の引数が優先されます。

Order — テイラー級数展開の打ち切り階数

6 (既定値) | 正の整数 | シンボリックな正の整数

テイラー級数展開の打ち切り階数。正の整数またはシンボリックな正の整数として指定します。taylor は、階数 n - 1 でテイラー級数近似を計算します。打ち切り階数 n は、O 項 O(varⁿ) の指数です。

OrderMode — 階数モード インジケーター

"absolute" (既定値) | "relative"

階数モード インジケーター。"absolute" または "relative" として指定します。このインジケーターは、テイラー多項式近似を計算するときに、絶対階数と相対階数のいずれを使用するのかを指定します。

"絶対階数" は計算された級数の打ち切り階数です。"相対階数" n は、計算された級数の var の指数が、最小階数 m から最高指数 m + n - 1 の範囲であることを意味します。ここで、m + n は、O 項 O(var^{m + n}) 内の var の指数です。

詳細

テイラー級数展開

テイラー級数展開では、解析関数 f(x) が、展開の点 x = a を中心とした項の無限和として表現されます。

$$f(x)=f\left(a\right)+\frac{f^{\prime }\left(a\right)}{1!}\left(x-a\right)+\frac{f^{″}\left(a\right)}{2!}{\left(x-a\right)}^2+\dots ={\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\frac{f^{(m)}(a)}{m!}\cdot {\left(x-a\right)}^m}$$

テイラー級数展開では、関数が展開点付近で無限階となる導関数である必要があります。

マクローリン級数展開

x = 0 を中心としたテイラー級数展開は、マクローリン級数展開と呼ばれます。

$$f(x)=f\left(0\right)+\frac{f^{\prime }\left(0\right)}{1!}x+\frac{f^{″}\left(0\right)}{2!}{x}^2+\dots ={\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\frac{f^{(m)}(0)}{m!}{x}^m}$$

ヒント

• 3 番目の引数 a と ExpansionPoint の両方を使用して展開点を指定した場合、ExpansionPoint で指定された値が優先されます。

• var がベクトルの場合、展開点 a は var と同じ長さのスカラーまたはベクトルでなければなりません。var がベクトルで a がスカラーの場合、a は var と同じ長さのベクトルに展開され、すべての要素が a と等しくなります。

• 展開点が無限大または負の無限大の場合、taylor はローラン級数展開を計算します。これは、1/var のべき級数です。

• 関数 sympref を使用して、シンボリックな多項式の出力順序を変更できます。

• taylor がテイラー級数展開を求められない場合は、series を使用して、より一般的なピュイズー級数展開を求めます。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

pade | series | symvar | coeffs | polynomialDegree | sympref

トピック

• テイラー級数