このページの内容は最新ではありません。最新版の英語を参照するには、ここをクリックします。

テイラー級数

次のステートメント

syms x
f = 1/(5 + 4*cos(x));
T = taylor(f, 'Order', 8)

は以下を返します。

T =
(49*x^6)/131220 + (5*x^4)/1458 + (2*x^2)/81 + 1/9

これは、f(x) に対するテイラー級数の階数 8 (ただし、これは含まれない) までのすべての項です。

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{(x-a)}^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}.$$

厳密には、展開点が a = 0 なので T はマクローリン級数です。

以下のコマンド

syms x
g = exp(x*sin(x));
t = taylor(g, 'ExpansionPoint', 2, 'Order', 12);

は、x = 2 について g のテイラー級数の最初の 12 個の非ゼロ項を生成します。

t は大きな式です。次のように入力します。

size(char(t))

ans =
           1       99791

すると、印刷形式で t に約 100,000 文字が含まれていることがわかります。t の使用を開始するには、まずその表示を単純化します。

t = simplify(t);
size(char(t))

ans =
           1        6988

テイラー近似がどの程度近似されているかを見るために、実際の関数 g と一緒にプロットして比較します。

xd = 1:0.05:3;
yd = subs(g,x,xd);
fplot(t, [1, 3])
hold on
plot(xd, yd, 'r-.')
title('Taylor approximation vs. actual function')
legend('Taylor','Function')

この例に対して、スウェーデンの UMEA 大学の Gunnar Bäckstrøm 教授に多大な感謝をします。