hurwitzZeta

Hurwitz ゼータ関数

R2019a 以降

構文

Z = hurwitzZeta(s,a)

Z = hurwitzZeta(n,s,a)

説明

Z = hurwitzZeta(s,a) は、数値入力またはシンボリック入力 s および a についてHurwitz ゼータ関数を評価します。Hurwitz ゼータ関数は、s が 1 でなく、かつ a が 0 でも負の整数でもない場合にのみ定義されます。

Z = hurwitzZeta(n,s,a) は、変数 s について hurwitzZeta(s,a) の n 次導関数を返します。

例

数値入力とシンボリック入力

数値入力引数を持つ Hurwitz ゼータ関数を評価します。

Z = hurwitzZeta(0,1)

Z = -0.5000

sym を使用して入力をシンボリック数に変換して、hurwitzZeta のシンボリック出力を計算します。

symZ = hurwitzZeta(sym([0 2]),1)

symZ = 
$$\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{{\pi }^2}{6}\end{array}\right)$$

関数 vpa を使用して、既定の 32 桁の精度でシンボリックな結果を近似します。

valZ = vpa(symZ)

valZ = $$\left(\begin{array}{cc}-0.5& 1.644934066848226436472415166646\end{array}\right)$$

特別な値

特定のパラメーター値について、Hurwitz ゼータ関数のシンボリックな評価は、他のシンボリック関数に関連する特殊な値を返します。

a = 1 について、Hurwitz ゼータ関数はリーマン ゼータ関数zetaを返します。

syms s a;
Z = hurwitzZeta(s,1)

Z = $$\zeta \text{<a href="matlab:doc symbolic/zeta">zeta</a>}\left(s\right)$$

s = 2 について、Hurwitz ゼータ関数はディガンマ関数psiの 1 次導関数を返します。

Z = hurwitzZeta(2,a)

Z = $${\psi \text{<a href="matlab:doc symbolic/psi">psi</a>}}^{\prime }\left(a\right)$$

非正の整数 s について、Hurwitz ゼータ関数は a についての多項式を返します。

Z = hurwitzZeta(0,a)

Z = 
$$\frac{1}{2}-a$$

Z = hurwitzZeta(-1,a)

Z = 
$$-\frac{a^2}{2}+\frac{a}{2}-\frac{1}{12}$$

Z = hurwitzZeta(-2,a)

Z = 
$$-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-\frac{a}{6}$$

Hurwitz ゼータ関数の微分

変数 s について Hurwitz ゼータ関数の 1 次導関数を求めます。

syms s a
Z = hurwitzZeta(1,s,a)

Z = $${\zeta \text{<a href="matlab:doc symbolic/hurwitzZeta">hurwitzZeta</a>}}^{\prime }(s,a)$$

関数 subs を使用して s = 0 および a = 1 での 1 次導関数を評価します。

symZ = subs(Z,[s a],[0 1])

symZ = 
$$-\frac{\log \left(2\right)}{2}-\frac{\log \left(\pi \right)}{2}$$

関数 diff を使用して a について Hurwitz ゼータ関数の 1 次導関数を求めます。

Z = diff(hurwitzZeta(s,a),a)

Z = $$-s\hspace{0.17em}\zeta \text{<a href="matlab:doc symbolic/hurwitzZeta">hurwitzZeta</a>}(s+1,a)$$

Hurwitz ゼータ関数のプロット

s の Hurwitz ゼータ関数を [-20 10] の区間で a = 0.7 としてプロットします。

fplot(@(s) hurwitzZeta(s,0.7),[-20 10])
axis([-20 10 -40 35]);

入力引数

s — 入力

数値 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック関数 | シンボリック式 | シンボリック配列

入力。数値、配列、シンボリック数、シンボリック変数、シンボリック関数、シンボリック式、またはシンボリック配列として指定します。Hurwitz ゼータ関数は、1 に等しくない値の s についてのみ定義されます。

データ型: single | double | sym | symfun
複素数のサポート: あり

a — 入力

数値 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック関数 | シンボリック式 | シンボリック配列

入力。数値、配列、シンボリック数、シンボリック変数、シンボリック関数、シンボリック式、またはシンボリック配列として指定します。Hurwitz ゼータ関数は、0 に等しくない値、または負の整数値の a についてのみ定義されます。

データ型: single | double | sym | symfun
複素数のサポート: あり

n — 微分の次数

非負の整数

導関数の階数。非負の整数として指定します。

詳細

Hurwitz ゼータ関数

Hurwitz ゼータ関数は次の公式で定義されます。

$$\zeta \left(s,a\right)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{{\left(k+a\right)}^s}}.$$

級数和は、Re(s) > 1 であり、かつ a が 0 でも負の整数でもない場合にのみ収束します。この関数の定義は、解析接続により単純極 s = 1 を除く複素平面全体に拡張されます。

ヒント

• Hurwitz ゼータ関数の浮動小数点評価は、複素数引数、または高精度の数値の場合には遅くなることがあります。計算速度を上げるため、関数 vpa および関数 digits を使用して、浮動小数点精度を下げることができます。詳細は、精度の引き下げによる速度の向上を参照してください。

• Hurwitz ゼータ関数は他の特殊関数と関連しています。たとえば、多重対数 Li_s(z) およびガンマ関数 Γ(z) で次のように表されます。

  $$\zeta \left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma \left(s\right)}{{\left(2\pi \right)}^s}\left[e^{-i\pi s/2}{\text{Li}}_s\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\pi s/2}{\text{Li}}_s\left(e^{-2\pi ia}\right)\right].$$

  ここで、Re(s) > 0 かつ Im(a) > 0、または Re(s) > 1 かつ Im(a) = 0 です。

参照

[1] Olver, F. W. J., A. B. Olde Daalhuis, D. W. Lozier, B. I. Schneider, R. F. Boisvert, C. W. Clark, B. R. Miller, and B. V. Saunders, eds., Chapter 25. Zeta and Related Functions, NIST Digital Library of Mathematical Functions, Release 1.0.20, Sept. 15, 2018.

バージョン履歴

R2019a で導入

参考

bernoulli | gamma | psi | polylog | zeta

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