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一部実施要因計画法

一部実施要因計画法の紹介

多くの生産過程を評価するためには 2 レベル計画で十分です。要因レベル ±1 は、カテゴリカル因子、正規化された因子の極値、または現在の要因設定からの単純な "上" および "下" の方向を示すことができます。工程の "変化" を評価する実験者は、プロセスの改善につながる因子の方向に主に興味があります。

多くの因子をもつ計画に対して、2 レベル完全実施要因計画法は、大量のデータをもたらすことがあります。たとえば、10 因子をもつ 2 レベル完全実施要因計画法は、210 = 1024 回の実行が必要です。しかし、しばしば、個々の因子あるいはそれらの交互作用は、応答についての区別できる効果がありません。これは、より高次の交互作用について特に当てはまります。結果として、十分に計画された実験は、より少ない実行でモデル パラメーターを推定できます。

一部実施要因計画法は、完全実施要因計画法で必要となる実行の一部を使用します。実験の実施のサブセットは、どの要因や交互作用が最も重大な効果をもつかという評価 (または仮定) に基づいて選択されます。一度この選択をすると、実験計画はこれらの効果を分離しなければなりません。特に、大きい効果が "交絡" しないようにする必要があります。つまり、ある測定が別の測定に依存しないようにする必要があります。

Plackett-Burman 計画

"Plackett-Burman 計画法" は、主効果 (線形効果) のみが重要であると考えられる場合に使用します。2 レベルの Plackett-Burman 計画では、2 のべき乗ではなく 4 の倍数回の実験を行う必要があります。MATLAB® の関数 hadamard は、次のような計画を生成します。

dPB = hadamard(8)
dPB =
     1    1    1    1    1    1    1    1
     1   -1    1   -1    1   -1    1   -1
     1    1   -1   -1    1    1   -1   -1
     1   -1   -1    1    1   -1   -1    1
     1    1    1    1   -1   -1   -1   -1
     1   -1    1   -1   -1    1   -1    1
     1    1   -1   -1   -1   -1    1    1
     1   -1   -1    1   -1    1    1   -1

因子のバイナリ レベルは、±1 によって表されます。この計画は、7 つの 2 レベル因子 (dPB の最後の 7 列) を操作して、8 回の実行 (dPB の行) に対するものです。実行の回数は、完全実施要因計画法によって必要となる実行の一部分 8/27 = 0.0625 です。主効果を任意の 2 次交互作用と交絡する代償として節約が達成されます。

一般の要因計画法

より大規模な要因計画を費やすと、重要と考えたい交互作用を指定できます。"分解能" が R の計画は、R – n 個未満の因子が含まれている他の効果と n 因子の交互作用が交絡しない計画です。したがって、分解能 III 計画法は、主効果を互いに交絡しませんが、(Plackett-Burman 計画のように) 交互作用と交絡することはあります。一方、分解能 IV 計画法は、主効果または 2 次交互作用のいずれも交絡しませんが、互いに、2 次交互作用と交絡することがあります。

一般的な一部実施要因計画法を指定するには、"基本因子" から選択したサブセットについては完全実施計画法を、残りの因子については "発生器" を使用します。生成器は、残りの因子に対して水準を与える、基本となる因子の積です。Statistics and Machine Learning Toolbox™ の関数 fracfact を使用して、これらの計画を作成します。

dfF = fracfact('a b c d bcd acd')
dfF =
    -1    -1    -1    -1    -1    -1
    -1    -1    -1     1     1     1
    -1    -1     1    -1     1     1
    -1    -1     1     1    -1    -1
    -1     1    -1    -1     1    -1
    -1     1    -1     1    -1     1
    -1     1     1    -1    -1     1
    -1     1     1     1     1    -1
     1    -1    -1    -1    -1     1
     1    -1    -1     1     1    -1
     1    -1     1    -1     1    -1
     1    -1     1     1    -1     1
     1     1    -1    -1     1     1
     1     1    -1     1    -1    -1
     1     1     1    -1    -1    -1
     1     1     1     1     1     1

これは、2 レベルの基本因子 4 つ (dfF の最初の 4 列の abcd) がレベルの各組み合わせで測定される 6 因子の計画です。一方、残りの 2 つの因子 (dfF の最後の 3 列) は、それぞれ、生成器 bcdacd で定義されたレベルでのみ測定されます。作成された列におけるレベルは、生成器を構成する列における、対応するレベルの積です。

一部実施要因計画を作成するときの課題は、指定した分解能を、指定した実行回数で達成するように基本因子と発生器を選択することです。Statistics and Machine Learning Toolbox の関数 fracfactgen を使用して、適当な生成器を見つけます。

generators = fracfactgen('a b c d e f',4,4)
generators = 
    'a'
    'b'
    'c'
    'd'
    'bcd'
    'acd'
これらは a から f までの 6 因子をもつ計画の発生器であり、24 = 16 回の実行を使用して分解能 IV を実現します。関数 fracfactgen では、効率的な探索アルゴリズムを使用して、要件を満たす発生器を探します。

fracfact からのオプションの出力は、計画の "交絡パターン" を表示します。

[dfF,confounding] = fracfact(generators);
confounding
confounding = 
    'Term'     'Generator'    'Confounding'  
    'X1'       'a'            'X1'           
    'X2'       'b'            'X2'           
    'X3'       'c'            'X3'           
    'X4'       'd'            'X4'           
    'X5'       'bcd'          'X5'           
    'X6'       'acd'          'X6'           
    'X1*X2'    'ab'           'X1*X2 + X5*X6'
    'X1*X3'    'ac'           'X1*X3 + X4*X6'
    'X1*X4'    'ad'           'X1*X4 + X3*X6'
    'X1*X5'    'abcd'         'X1*X5 + X2*X6'
    'X1*X6'    'cd'           'X1*X6 + X2*X5 + X3*X4'
    'X2*X3'    'bc'           'X2*X3 + X4*X5'
    'X2*X4'    'bd'           'X2*X4 + X3*X5'
    'X2*X5'    'cd'           'X1*X6 + X2*X5 + X3*X4'
    'X2*X6'    'abcd'         'X1*X5 + X2*X6'
    'X3*X4'    'cd'           'X1*X6 + X2*X5 + X3*X4'
    'X3*X5'    'bd'           'X2*X4 + X3*X5'
    'X3*X6'    'ad'           'X1*X4 + X3*X6'
    'X4*X5'    'bc'           'X2*X3 + X4*X5'
    'X4*X6'    'ac'           'X1*X3 + X4*X6'
    'X5*X6'    'ab'           'X1*X2 + X5*X6'

交絡パターンから、主効果は計画によって効果的に分離されますが、2 次交互作用は他のさまざまな 2 次交互作用と交絡していることがわかります。