動くビリヤード ボールのダイナミクスのモデル化

この例では次を使用します。

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この例では、連続時間の行列変数を使用してビリヤード ゲームのオープニング ショットをモデル化する方法を説明します。モデルの Stateflow® チャートは、大量の不連続点をもつハイブリッド システムのダイナミクスをシミュレートします。詳細については、Stateflow の連続時間モデルを参照してください。

シミュレーションを開始すると、MATLAB® ユーザー インターフェイス (UI) には、三角形の枠に 15 個のビリヤード ボールが配置されたビリヤード テーブルが表示されます。次に、キュー ボールの最初の位置と速度を選択することを求めるプロンプトが UI に表示されます。キュー ボールが放たれると、高速で衝突し続けるビリヤード ボールの動きが UI によってアニメーション化されます。

モデルは次のもので構成されています。

  • Stateflow チャート Init。関数 sf_pool_plotter.m を呼び出し、UI からの入力に基づいてキュー ボールの位置と速度を初期化します。

  • Stateflow チャート Pool。各ビリヤード ボールの 2 次元のダイナミクスを計算します。

  • MATLAB Function ブロック Plot。関数 sf_pool_plotter.m を呼び出し、シミュレーション中のビリヤード ボールの動きをアニメーション化します。

  • Scope ブロック Vel。オープニング ショット中の各ビリヤード ボールの速度を表示します。

連続時間ダイナミクスの計算

ビリヤード ボールのダイナミクスを表すため、Pool チャートはいくつかの仮定を行います。

連続時間変数

システムの状態がボールの位置と速度によって完全に記述されるよう、チャートはボールのスピンを無視します。各ボールが単位質量をもつと仮定されるので、その位置と速度は次の連立微分方程式によって記述されます。

$$
\left\{ \begin{array}{ll}
\dot{\mathbf{p}} = \mathbf{v} \\
\dot{\mathbf{v}} = \mathbf{F}_\mathrm{friction} +
\mathbf{F}_\mathrm{interaction},
\end{array} \right.
$$

ここで $\mathbf{F}_\mathrm{friction}$ と $\mathbf{F}_\mathrm{interaction}$ は、ビリヤード テーブルとの摩擦による力と、他のボールとの衝突によって発生する力です。

ボールの位置と速度を追跡するため、チャートは 16 行 2 列の行列のペアを連続時間変数 p と v に保存します。各行列で、$i^\mathrm{th}$ 行は $i^\mathrm{th}$ ボールの 2 次元の位置または速度を表します。

摩擦モデル

各ボールに作用する摩擦力を計算するため、チャートは MATLAB 関数 frictionForce を呼び出します。この関数は簡略化された摩擦モデルを実装します。摩擦はそれぞれの動くボールに対し、動きの反対方向に一定の力で作用します。摩擦は静止しているボールには作用しないので、各ボールへの摩擦力は本質的にモーダルです。

$$
\mathbf{F}_\mathrm{friction} =
\left\{ \begin{array}{ll}
-\mu g \displaystyle\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
& \|\mathbf{v}\|>0 \\
0 & \mathrm{otherwise,}
\end{array} \right.
$$

ここで $\mu$ は摩擦係数、$g$ は重力加速度です。

衝突ダイナミクス

ボール間の衝突によって起きる相互作用を特定するため、チャートは MATLAB 関数 interactionForce を呼び出します。この関数は 2 つのボールが互いに接触するときの単純な復元力モデルを実装します。$i^\mathrm{th}$ と $j^\mathrm{th}$ のボール間の相互作用力はモーダルです。

$$&#10;\mathbf{F}_{\mathrm{interaction}}(i,j) =&#10;\left\{ \begin{array}{ll}&#10;k_p (2R-\|\Delta \mathbf{p}\|)&#10;\displaystyle\frac{\Delta \mathbf{p}}{\|\Delta \mathbf{p}\|}&#10;- k_v\Delta \mathbf{v} &#38; \|\Delta \mathbf{p}\| < 2R \\&#10;0 &#38; \mathrm{otherwise,}&#10;\end{array} \right.&#10;$$

ここで、

  • $R$ は各ボールの半径。

  • $k_p$ および $k_v$ は弾性定数。

  • $\Delta \mathbf{p} = \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_j$ は 2 つのボールの中心の相対距離。

  • $\Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_i - \mathbf{v}_j$ は 2 つのボールの相対速度差。

ボールは 2 次元で自由に移動するため、チャートは 16 行 16 列の boolean 行列 ball_interaction を使用してすべての潜在的な衝突を考慮します。たとえば、$i^\mathrm{th}$ と $j^\mathrm{th}$ のボールが接触している場合、ball_interaction(i,j) の値は true です。それ以外の場合、この値は false です。衝突は本来対称なので、チャートは行列の上三角部分のみを使用します。

MATLAB 関数での行列計算の実行

ビリヤード ボールの 2 次元ダイナミクスを計算するため、Pool チャートは行列計算を実行するいくつかの MATLAB 関数を呼び出します。

  • initBalls は、ビリヤード テーブル上の各ボールの位置と速度を初期化します。

  • frictionForce は、各ボールにかかる摩擦力を計算します。

  • interactionForce は、各ボールにかかる相互作用力を計算します。

  • isAnyBallGoingToStop は、いずれかのボールが動きを止めると 1 の値を返します。それ以外の場合、関数は 0 の値を返します。

  • hasBallInteractionChanged は、いずれかのボールの相互作用が変化すると 1 の値を返します。それ以外の場合、関数は 0 の値を返します。

  • isAnyBallNewlyPocketed は、いずれかのボールがポケットに落ちると 1 の値を返します。それ以外の場合、関数は 0 の値を返します。

  • isAnyBallOutOfBounds は、いずれかのボールがビリヤード テーブルの境界の外にある場合に true の値を返します。それ以外の場合、関数は false の値を返します。

  • nearHole は、ボールがビリヤード テーブルのポケットの近くにある場合に true の値を返します。それ以外の場合、関数は false の値を返します。

  • getBallInteraction は、いずれかのボールが互いに接触しているかどうかを指定する boolean 行列を返します。

  • updateStopFlags は、どのボールの動きが止まったかを追跡し、ベクトル stopped に結果を保存します。

  • pocketNewBalls は、ポケットに入った各ボールの速度を 0 に設定します。

  • resetBallsPosAndVel は、ビリヤード テーブルの境界の外にあるすべてのボールの位置と速度をリセットします。

シミュレーション結果の表示

シミュレーションの開始に際し、UI にはビリヤード テーブルと、15 個のビリヤード ボールが台の片側に並んで表示されます。キュー ボールの最初の位置を指定するには、ビリヤード テーブルの任意の場所をクリックします。

突き玉の最初の速度を指定するには、ビリヤード テーブルの別の場所をクリックします。

モデルはシステムのダイナミクスをシミュレートして、ビリヤード ボールの動きをアニメーション化します。

シミュレーションを停止するには、UI を閉じます。

参考

トピック