schur

Schur 分解

構文

T = schur(A)

T = schur(A,mode)

[U,T] = schur(___)

説明

T = schur(A) は、A の Schur 行列を返します。

T = schur(A,mode) は、A が実数行列である場合、mode が "real" であれば実疑似三角 Schur 行列を返し、mode が "complex" であれば複素三角 Schur 行列を返します。A が複素行列の場合は、schur は mode の値に関係なく複素 Schur 型を返します。

[U,T] = schur(___) は、A = U*T*U' となるユニタリ行列 U も返します。

例

行列の Schur 型

3 行 3 列の行列を作成し、その Schur 型を計算します。結果は、対角上に A の固有値 (1、2、および 3) をもつ行列になります。

A = [-149 -50 -154; 537 180 546; -27 -9 -25];
T = schur(A)

T = 3×3

    1.0000   -7.1119  815.8706
         0    2.0000   55.0236
         0         0    3.0000

非対角要素が大きく、この行列の固有値が悪条件であることを示しています。これは、関数 condeig を使用して条件数を調べると確認できます。

condeig(A)

ans = 3×1

  603.6390
  395.2366
  219.2920

複素固有値をもつ行列の Schur 型

3 行 3 列の複素固有値をもつ行列を作成します。

A = [3 1 1; 0 2 0; -2 1 1]

A = 3×3

     3     1     1
     0     2     0
    -2     1     1

A の実 Schur 型を計算します。対角上にある 2 行 2 列のブロック行列が共役複素固有値のペアを表します。

T1 = schur(A)

T1 = 3×3

    2.0000    0.3820    1.3764
   -2.6180    2.0000    0.3249
         0         0    2.0000

関数 ordeig を使用して、実 Schur 型の固有値を求めます。

ordeig(T1)

ans = 3×1 complex

   2.0000 + 1.0000i
   2.0000 - 1.0000i
   2.0000 + 0.0000i

mode を "complex" と指定して、A の複素 Schur 型を計算します。T2 の対角値が A の Schur 型の固有値です。これは、ordeig の出力と同じになります。

T2 = schur(A,"complex")

T2 = 3×3 complex

   2.0000 + 1.0000i   2.2361 + 0.0000i  -0.3035 - 0.4911i
   0.0000 + 0.0000i   2.0000 - 1.0000i   1.2858 + 0.1159i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   2.0000 + 0.0000i

行列の Schur 分解

3 行 3 列の魔方陣行列を作成し、その Schur 分解因子を計算します。

A = magic(3);
[U,T] = schur(A)

U = 3×3

   -0.5774   -0.8131   -0.0749
   -0.5774    0.4714   -0.6667
   -0.5774    0.3416    0.7416

T = 3×3

   15.0000    0.0000   -0.0000
         0    4.8990   -3.4641
         0         0   -4.8990

A-U*T*U' および U'*U - eye(size(U)) のノルムがマシンの精度内で 0 であることを検証します。

norm(A-U*T*U')

ans = 
1.0954e-14

norm(U'*U - eye(size(U)))

ans = 
9.2217e-16

入力引数

A — 入力行列

正方行列

入力行列。実正方行列または複素正方行列として指定します。A は密でなければなりません。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

mode — Schur 型システム

"real" (既定値) | "complex"

Schur 型システム。"real" または "complex" として指定します。

• A が実数の場合、mode は "real" または "complex" のいずれかになります。mode が "real" の場合は、schur は実疑似三角行列 T を返します。mode が "complex" の場合は、schur は複素三角行列 T を返します。

• A が複素数の場合、schur は mode を無視して複素 Schur 型を返します。これは、対角上に A の固有値をもつ上三角行列です。

出力引数

U — Schur ベクトル

ユニタリ行列

Schur ベクトル。A = U*T*U' を満たすユニタリ行列として返されます。U の各列が Schur ベクトルに対応します。Schur 行列 T が三角行列の場合は、U の最初の列が T の最初の要素に対応する A の固有ベクトルになります。

T — Schur 行列

正方行列

Schur 行列。実正方行列または複素正方行列として返されます。mode が "complex" の場合、T は三角行列になります。mode が "real" の場合、T は疑似三角行列になります。

詳細

疑似三角行列

疑似上三角行列は、実数行列の Schur 分解または一般化 Schur (QZ) 分解の結果として得られます。疑似上三角行列はブロックの上三角行列で、対角上に 1 行 1 列および 2 行 2 列の非ゼロ値のブロックがあります。

これらの対角ブロックの固有値は、この行列の固有値でもあります。1 行 1 列のブロックは実数固有値に対応し、2 行 2 列のブロックは複素共役固有値の組に対応します。

ユニタリ行列

可逆の複素正方行列 U は、その共役転置もその逆である場合、つまり $$U^{*}U=U{U}^{*}=I$$ であればユニタリです。

ヒント

• 関数 rsf2csf を使用すると、行列の実 Schur 型を複素 Schur 型に変換できます。[U,T] = rsf2csf(A) は [U,T] = schur(A,"complex") と同じ出力を返します。

拡張機能

C/C++ コード生成

MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

使用上の注意および制限:

• 生成されたコードは、MATLAB^® とは異なる Schur 分解を返す場合があります。

• 入力行列に非有限値が含まれる場合、生成されたコードはエラーを発行しません。代わりに、出力には NaN 値が含まれます。

• コード生成では、この関数のスパース行列入力はサポートされません。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

eig | hess | qz | rsf2csf | ordeig | condeig