qz

一般化固有値に対する一般化 Schur (QZ) 分解

構文

[AA,BB,Q,Z] = qz(A,B)

[AA,BB,Q,Z,V,W] = qz(A,B)

[___] = qz(A,B,mode)

説明

[AA,BB,Q,Z] = qz(A,B) は、正方行列 A と B に対して、Q*A*Z = AA かつ Q*B*Z = BB となるような QZ 分解を実行します。

• A と B が実数の場合、AA と BB は疑似上三角行列です。

• A と B が複素数の場合、AA と BB は三角行列です。

• Q と Z はユニタリ行列です。

[AA,BB,Q,Z,V,W] = qz(A,B) は、A と B のそれぞれ右と左の一般化固有ベクトルを列にもつ行列 V と W も返します。

[___] = qz(A,B,mode) は、mode が "real" の場合は実数分解を返し、mode が "complex" の場合は可能な複素分解を返します。この構文を、前述の構文の出力引数と任意に組み合わせて使用します。

例

QZ 分解

3 行 3 列の 2 つの行列の QZ 分解を計算します。

A = [1 7 3; 2 9 12; 5 22 7];
B = [3 1 0; 0 3 1; 0 0 3];
[AA,BB,Q,Z] = qz(A,B)

AA = 3×3

   23.5574    1.4134  -14.3485
         0   -0.5776    2.7629
         0         0   -8.6720

BB = 3×3

    3.5845   -0.1090   -0.6024
         0    2.7599    0.8430
         0         0    2.7292

Q = 3×3

    0.2566    0.6353    0.7284
   -0.9477    0.3134    0.0604
   -0.1899   -0.7058    0.6824

Z = 3×3

    0.1502   -0.9664   -0.2088
    0.4689    0.2556   -0.8455
    0.8704    0.0291    0.4915

AA - Q*A*Z、BB - Q*B*Z、Q'*Q - eye(size(Q))、および Z'*Z - eye(size(Z)) のノルムがマシンの精度内で 0 であることを検証します。

norm(AA - Q*A*Z)

ans = 
5.3472e-15

norm(BB - Q*B*Z)

ans = 
1.6773e-15

norm(Q'*Q - eye(size(Q)))

ans = 
1.0045e-15

norm(Z'*Z - eye(size(Z)))

ans = 
4.5298e-16

一般化固有ベクトル

2 行 2 列の 2 つの行列の QZ 分解を計算し、一般化固有ベクトルも返します。

A = [10 -7; -3 2];
B = [7 3; 12 9];
[AA,BB,Q,Z,V,W] = qz(A,B)

AA = 2×2

   11.9600   -4.3532
         0   -0.0836

BB = 2×2

    1.6381   -2.9374
         0   16.4830

Q = 2×2

   -0.9597    0.2811
    0.2811    0.9597

Z = 2×2

   -0.5752    0.8180
    0.8180    0.5752

V = 2×2

   -0.7031    0.6960
    1.0000    1.0000

W = 2×2

   -1.0000    0.2929
    0.4537    1.0000

Q*A*Z - AA および Q*B*Z - BB の要素がマシンの精度内で 0 であることを検証します。

Q*A*Z - AA

ans = 2×2
10-14 ×

         0    0.1776
   -0.1034   -0.1360

Q*B*Z - BB

ans = 2×2
10-14 ×

   -0.0222         0
    0.0888   -0.3553

関数 eig を使用して、A と B の一般化固有値と左右の固有ベクトルを計算します。A*V - B*V*D および W'*A - D*W'*B の要素がマシンの精度内で 0 であることを検証します。

[V,D,W] = eig(A,B);
A*V - B*V*D

ans = 2×2
10-14 ×

         0   -0.2297
   -0.7105   -0.0860

W'*A - D*W'*B

ans = 2×2
10-14 ×

    0.7105   -0.3553
   -0.1235   -0.0625

複素 QZ 分解

3 行 3 列の 2 つの行列の複素 QZ 分解を計算します。

A = [1/sqrt(2) 1 0; 0 1 1; 0 1/sqrt(2) 1];
B = [0 1 1; -1/sqrt(2) 0 1; 1 -1/sqrt(2) 0];
[AAc,BBc,Qc,Zc] = qz(A,B)

AAc = 3×3 complex

   0.5011 - 0.8679i   0.0332 - 1.0852i   0.3687 + 0.9278i
   0.0000 + 0.0000i   0.1848 - 0.0000i  -0.6334 - 0.3673i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.5590 + 0.9682i

BBc = 3×3 complex

   1.0022 + 0.0000i   0.3136 + 0.0711i  -0.0280 + 0.5966i
   0.0000 + 0.0000i   1.3388 + 0.0000i   0.1572 + 0.6846i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   1.1180 + 0.0000i

Qc = 3×3 complex

   0.5379 + 0.2210i   0.4604 - 0.3553i   0.3214 - 0.4693i
   0.2172 + 0.3386i   0.4018 - 0.0188i  -0.7698 + 0.2895i
  -0.3719 - 0.6014i   0.7068 - 0.0213i  -0.0000 - 0.0000i

Zc = 3×3 complex

   0.2514 + 0.0413i  -0.7279 - 0.4531i  -0.4470 - 0.0135i
  -0.1000 - 0.6068i   0.3328 - 0.3332i  -0.3326 + 0.5379i
   0.6391 + 0.3853i   0.1423 - 0.1511i   0.2996 + 0.5570i

mode を "real" と指定して、A と B の実数 QZ 分解を計算します。A の一般化 Schur 型が疑似三角行列であり、複素固有値をもつことを示しています。

[AAr,BBr,Qr,Zr] = qz(A,B,"real")

AAr = 3×3

    0.1464    1.1759    0.3094
         0    1.0360    1.2594
         0   -0.8587    0.3212

BBr = 3×3

    1.0607   -0.5952    0.1441
         0    1.6676         0
         0         0    0.8481

Qr = 3×3

    0.0000   -0.0000   -1.0000
   -0.7882   -0.6154    0.0000
   -0.6154    0.7882   -0.0000

Zr = 3×3

   -0.7071    0.2610   -0.6572
    0.5000   -0.4727   -0.7257
   -0.5000   -0.8417    0.2037

三角行列 AAc について、diag(AA)./diag(BB) を使用して固有値を計算します。

diag(AAc)./diag(BBc)

ans = 3×1 complex

   0.5000 - 0.8660i
   0.1381 - 0.0000i
   0.5000 + 0.8660i

疑似三角行列 AAr について、関数 ordeig を使用して固有値を計算します。

ordeig(AAr,BBr)

ans = 3×1 complex

   0.1381 + 0.0000i
   0.5000 + 0.8660i
   0.5000 - 0.8660i

入力引数

A, B — 入力行列

正方行列

入力行列。実正方行列または複素正方行列として指定します。A と B の次元は同じでなければなりません。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

mode — 分解モード

"complex" (既定値) | "real"

分解モード。次の値のいずれかとして指定します。

• "complex" — qz は可能な複素分解を返し、AA と BB は三角行列になります。

• "real" — qz は実数分解を返し、AA と BB は疑似三角行列になります。

出力引数

AA, BB — A と B の一般化 Schur 型

正方行列

A と B の一般化 Schur 型。上三角正方行列または疑似上三角正方行列として返されます。

• 分解が複素数で AA が三角行列の場合、対角要素 a = diag(AA) と b = diag(BB) は A*V*b = B*V*a および b'*W'*A = a'*W'*B を満たす一般化固有値です。

• 分解が実数で AA が疑似三角行列の場合、非スパース システムの固有値を得るために 2 行 2 列のブロックをさらに減らす必要があります。AA の 2 行 2 列の各ブロックは、BB の同じ位置にある 2 行 2 列の対角ブロックに対応します。

Q, Z — ユニタリ因子

正方行列

ユニタリ因子。Q*A*Z = AA および Q*B*Z = BB を満たす正方行列として返されます。

V — 右固有ベクトル

正方行列

右固有ベクトル。ペア (A,B) の一般化右固有ベクトルを列にもつ正方行列として返されます。固有ベクトルは A*V = B*V*D を満たします。ここで、D にはペアの一般化固有値が主対角に沿って含まれます。D を返すには関数 eig、D の対角要素を返すには関数 ordeig を使用します。

マシンや MATLAB^® のリリースが異なる場合、異なる固有ベクトルが出力されることがありますが、数値的にはいずれも正確です。

• 実数固有ベクトルでは、固有ベクトルの符号を変更できます。

• 複素数固有ベクトルでは、絶対値が 1 の任意の複素数を固有ベクトルに乗算できます。

• 重複固有値では、その固有ベクトルを線形結合によって再結合できます。たとえば、Ax = λx かつ Ay = λy の場合、A(x+y) = λ(x+y) であるため、x+y も A の固有ベクトルです。

W — 左固有ベクトル

正方行列

左固有ベクトル。ペア (A,B) の一般化左固有ベクトルを列にもつ正方行列として返されます。固有ベクトルは W'*A = D*W'*B を満たします。ここで、D にはペアの一般化固有値が主対角に沿って含まれます。D を返すには関数 eig、D の対角要素を返すには関数 ordeig を使用します。

マシンや MATLAB のリリースが異なる場合、異なる固有ベクトルが出力されることがありますが、数値的にはいずれも正確です。

• 実数固有ベクトルでは、固有ベクトルの符号を変更できます。

• 複素数固有ベクトルでは、絶対値が 1 の任意の複素数を固有ベクトルに乗算できます。

• 重複固有値では、その固有ベクトルを線形結合によって再結合できます。たとえば、Ax = λx かつ Ay = λy の場合、A(x+y) = λ(x+y) であるため、x+y も A の固有ベクトルです。

詳細

疑似三角行列

疑似上三角行列は、実数行列の Schur 分解または一般化 Schur (QZ) 分解の結果として得られます。疑似上三角行列はブロックの上三角行列で、対角上に 1 行 1 列および 2 行 2 列の非ゼロ値のブロックがあります。

これらの対角ブロックの固有値は、この行列の固有値でもあります。1 行 1 列のブロックは実数固有値に対応し、2 行 2 列のブロックは複素共役固有値の組に対応します。

ユニタリ行列

可逆の複素正方行列 U は、その共役転置もその逆である場合、つまり $$U^{*}U=U{U}^{*}=I$$ であればユニタリです。

ヒント

• QZ 分解から、一般化固有値問題 $$Ax=\lambda Bx$$ を解く一般化固有値を計算できます。三角行列 AA については、diag(AA)./diag(BB) を使用して固有値を計算します。疑似三角行列 AA については、ordeig(AA,BB) を使用して固有値を計算します。

拡張機能

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

eig | schur | hess | ordeig