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eigs
固有値および固有ベクトルのサブセット
構文
説明
d = eigs(A,k,sigma,Name,Value)eigs(A,k,sigma,'Tolerance',1e-3) はアルゴリズムの収束の許容誤差を調整します。
例
行列 A = delsq(numgrid('C',15)) は、区間 (0 8) にほど良く配置された固有値をもつ対称正定値行列です。絶対値が最も大きい 6 個の固有値を計算します。
A = delsq(numgrid('C',15));
d = eigs(A)d = 6×1
7.8666
7.7324
7.6531
7.5213
7.4480
7.3517
2 番目の入力を指定して、最も大きい特定数の固有値を計算します。
d = eigs(A,3)
d = 3×1
7.8666
7.7324
7.6531
行列 A = delsq(numgrid('C',15)) は、区間 (0 8) にほど良く配置された固有値をもつ対称正定値行列です。最も小さい 5 個の固有値を計算します。
A = delsq(numgrid('C',15)); d = eigs(A,5,'smallestabs')
d = 5×1
0.1334
0.2676
0.3469
0.4787
0.5520
非ゼロ要素の密度が約 25% の、1500 行 1500 列の乱数スパース行列を作成します。
n = 1500; A = sprand(n,n,0.25);
行列の LU 分解を求め、A(p,:) = L*U を満たす置換ベクトル p を返します。
[L,U,p] = lu(A,'vector');関数ハンドル Afun を作成します。この関数ハンドルはベクトル入力 x を受け取り、LU 分解の結果を使用して、実質的に A\x を返します。
Afun = @(x) U\(L\(x(p)));
eigs と関数ハンドル Afun を使用して、絶対値の最も小さい 6 個の固有値を計算します。2 番目の入力は A のサイズです。
d = eigs(Afun,1500,6,'smallestabs')d = 6×1 complex
0.1423 + 0.0000i
0.4859 + 0.0000i
-0.3323 - 0.3881i
-0.3323 + 0.3881i
0.1019 - 0.5381i
0.1019 + 0.5381i
west0479 は 479 行 479 列の実数値スパース行列であり、共役固有値の実数および複素数のペアをもちます。
west0479 行列を読み込み、eig を使用してすべての固有値を計算してプロットします。固有値は複素数であるため、plot は自動的に実数部を x 座標、虚数部を y 座標として使用します。
load west0479 A = west0479; d = eig(full(A)); plot(d,'+')
固有値は、実数直線 (x 軸) に沿って、特に原点近くに集まっています。
eigs には、各種の最大の固有値または最小の固有値を取り出すことができる sigma のオプションがいくつかあります。sigma で使用できるオプションごとに、いくつかの固有値を計算してプロットします。
figure plot(d, '+') hold on la = eigs(A,6,'largestabs'); plot(la,'ro') sa = eigs(A,6,'smallestabs'); plot(sa,'go') hold off legend('All eigenvalues','Largest magnitude','Smallest magnitude') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
figure plot(d, '+') hold on ber = eigs(A,4,'bothendsreal'); plot(ber,'r^') bei = eigs(A,4,'bothendsimag'); plot(bei,'g^') hold off legend('All eigenvalues','Both ends real','Both ends imaginary') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
figure plot(d, '+') hold on lr = eigs(A,3,'largestreal'); plot(lr,'ro') sr = eigs(A,3,'smallestreal'); plot(sr,'go') li = eigs(A,3,'largestimag','SubspaceDimension',45); plot(li,'m^') si = eigs(A,3,'smallestimag','SubspaceDimension',45); plot(si,'c^') hold off legend('All eigenvalues','Largest real','Smallest real','Largest imaginary','Smallest imaginary') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
対称正定値スパース行列を作成します。
A = delsq(numgrid('C', 150));'smallestreal' を使用して、最も小さい 6 個の実数固有値を計算します。この場合、A を使用して Krylov 法が実行されます。
tic
d = eigs(A, 6, 'smallestreal')d = 6×1
0.0013
0.0025
0.0033
0.0045
0.0052
0.0063
toc
Elapsed time is 1.717946 seconds.
'smallestabs' を使用して、同じ固有値を計算します。この場合、A の逆行列を使用して Krylov 法が実行されます。
tic
dsm = eigs(A, 6, 'smallestabs')dsm = 6×1
0.0013
0.0025
0.0033
0.0045
0.0052
0.0063
toc
Elapsed time is 0.251762 seconds.
固有値はゼロの近くに集まります。A を使用する 'smallestreal' の計算は収束に時間がかかります。これは、固有値間のギャップが非常に小さいためです。反対に、'smallestabs' オプションでは A の逆行列を使用するため、A の固有値の逆行列でギャップがはるかに大きくなり、結果として計算が容易になります。このパフォーマンスの改善は、'smallestreal' では不要な A の因子分解を行うことで得られます。
固有値とほぼ等しい数値 sigma の近傍の固有値を計算します。
行列 A = delsq(numgrid('C',30)) は、区間 (0 8) にほど良く配置された固有値をもつサイズ 632 の対称正定値行列です。ただし、このうちの 18 個の固有値は、4.0 の位置で反復があります。4.0 近傍の固有値をいくつか計算するには、関数呼び出し eigs(A,20,4.0) を試みるのが妥当です。ただし、この呼び出しは A - 4.0*I の逆行列の最大固有値を計算します。ここで、I は単位行列です。4.0 は A の固有値であるため、この行列は特異であり、逆行列はありません。eigs は失敗してエラー メッセージが出力されます。数値 sigma は、固有値と厳密に等しい値にできません。これらの固有値を求めるには、代わりに 4.0 近傍 (等しくない) の sigma 値を使用しなければなりません。
eig を使用してすべての固有値を計算し、eigs を使用して 4 - 1e-6 に最も近い 20 個の固有値を求めて、それらの結果を比較します。それぞれの方法で計算した固有値をプロットします。
A = delsq(numgrid('C',30));
sigma = 4 - 1e-6;
d = eig(A);
D = sort(eigs(A,20,sigma));plot(d(307:326),'ks') hold on plot(D,'k+') hold off legend('eig(A)','eigs(A,20,sigma)') title('18 Repeated Eigenvalues of A')
どちらも非ゼロ要素の密度の低い、乱数のスパース行列 A および B を作成します。
B = sprandn(1e3,1e3,0.001) + speye(1e3); B = B'*B; A = sprandn(1e3,1e3,0.005); A = A+A';
行列 B のコレスキー分解を求め、3 つの出力を使用して置換ベクトル s およびテスト値 p を返します。
[R,p,s] = chol(B,'vector');
pp = 0
p はゼロであるため、B は B(s,s) = R'*R を満たす対称正定値行列です。
A および R に関する一般化固有値問題について、絶対値が最も大きい 6 個の固有値および固有ベクトルを計算します。R は B のコレスキー因子であるため、'IsCholesky' を true として指定します。さらに、B(s,s) = R'*R であり、したがって R = chol(B(s,s)) であるため、置換ベクトル s を 'CholeskyPermutation' の値として使用します。
[V,D,flag] = eigs(A,R,6,'largestabs','IsCholesky',true,'CholeskyPermutation',s); flag
flag = 0
flag はゼロであるため、すべての固有値が収束しています。
入力引数
名前と値の引数
出力引数
ヒント
eigsは、複数の実行にわたって再現性を確保するために、プライベート乱数ストリームを使用して既定の開始ベクトルを生成します。eigsを呼び出す前にrngを使用して乱数発生器の状態を設定しても、出力に影響しません。eigsの使用は、小規模で密な行列でいくつかの固有値を求めるための方法として最も効率的ではありません。このような問題では、eig(full(A))を使用する方が迅速な場合があります。たとえば、500 行 500 列の行列の固有値を 3 つ求める問題は比較的小規模なので、eigで容易に処理できます。指定した行列について
eigsが収束しない場合は、'SubspaceDimension'の値を増やすことによって Lanczos 基底ベクトルの数を増加させます。補助的な選択肢として、反復の最大回数'MaxIterations'と収束の許容誤差'Tolerance'を調整することも、収束動作に役立つ場合があります。
参照
[1] Stewart, G.W. "A Krylov-Schur Algorithm for Large Eigenproblems." SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications. Vol. 23, Issue 3, 2001, pp. 601–614.
[2] Lehoucq, R.B., D.C. Sorenson, and C. Yang. ARPACK Users' Guide. Philadelphia, PA: SIAM, 1998.
