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柔軟ビームの振動制御

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この例では、柔軟ビームの振動を低減するためにコントローラーを調整する方法を説明します。

柔軟ビームのモデル

図 1 は、柔軟ビームのアクティブな振動制御システムを示しています。

図 1: 柔軟ビームのアクティブ制御

この設定では、力 $u$ を提供するアクチュエータと速度センサーが併置されています。有限要素解析を使用して、制御入力 $u$ から速度 $y$ への伝達関数をモデル化できます。最初の 6 つのモードのみを維持して、次の形式のプラント モデルを取得します。

$$ G(s) = \sum_{i = 1}^6 \frac{\alpha_i^2 s}{ s^2 + 2\xi w_i s + w_i^2} $$

この場合、次のパラメーター値を使用します。

% Parameters
xi = 0.05;
alpha = [0.09877, -0.309, -0.891, 0.5878, 0.7071, -0.8091];
w = [1, 4, 9, 16, 25, 36];

$G(s)$ の結果のビーム モデルは次の式で表されます。

% Beam model
G = tf(alpha(1)^2*[1,0],[1, 2*xi*w(1), w(1)^2]) + ...
    tf(alpha(2)^2*[1,0],[1, 2*xi*w(2), w(2)^2]) + ...
    tf(alpha(3)^2*[1,0],[1, 2*xi*w(3), w(3)^2]) + ...
    tf(alpha(4)^2*[1,0],[1, 2*xi*w(4), w(4)^2]) + ...
    tf(alpha(5)^2*[1,0],[1, 2*xi*w(5), w(5)^2]) + ...
    tf(alpha(6)^2*[1,0],[1, 2*xi*w(6), w(6)^2]);

G.InputName = 'uG';  G.OutputName = 'y';

このセンサーとアクチュエータの構成では、ビームは次の受動システムになります。

isPassive(G)

ans =

  logical

   1

これは、$G$ のナイキスト線図が正の実数であることを観測して確認されます。

nyquist(G)

LQG コントローラー

LQG 制御は、アクティブ振動制御の自然な形式です。LQG 制御の設定を図 2 に示します。信号 $d$ および $n$ は、それぞれプロセス ノイズと測定ノイズです。

図 2: LQG 制御構造

まず lqg を使用して、次の目的に最適な LQG コントローラーを計算します。

$$ J = \lim_{T \rightarrow \infty} E \left( \int_0^T (y^2(t) + 0.001
u^2(t)) dt \right) $$

ここでは、次のノイズ分散を使用します。

$$ E(d^2(t)) = 1 ,\quad E(n^2(t)) = 0.01 . $$

[a,b,c,d] = ssdata(G);
M = [c d;zeros(1,12) 1];  % [y;u] = M * [x;u]
QWV = blkdiag(b*b',1e-2);
QXU = M'*diag([1 1e-3])*M;
CLQG = lqg(ss(G),QXU,QWV);

LQG 最適コントローラー CLQG は 12 の状態と、ノッチとなる複数の零点をもつ複雑なコントローラーです。

size(CLQG)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 12 states.

bode(G,CLQG,{1e-2,1e3}), grid, legend('G','CLQG')

ans = 

  Legend (G, CLQG) with properties:

         String: {'G'  'CLQG'}
       Location: 'northeast'
    Orientation: 'vertical'
       FontSize: 8.1000
       Position: [0.7946 0.8583 0.1599 0.0884]
          Units: 'normalized'

  Use GET to show all properties

汎用の調整器 systune を使用してこのコントローラーの簡略化を試行します。systune では、最大次数のコントローラーに制限されることはなく、どの次数のコントローラーでも調整できます。この例では、2 次状態空間コントローラーを調整します。

C = ltiblock.ss('C',2,1,1);

図 2 のブロック線図の閉ループ モデルを構築します。

C.InputName = 'yn';  C.OutputName = 'u';
S1 = sumblk('yn = y + n');
S2 = sumblk('uG = u + d');
CL0 = connect(G,C,S1,S2,{'d','n'},{'y','u'},{'yn','u'});

上記の LQG 基準 $J$ を単独の調整目標として使用します。LQG 調整目標では、性能の重みとノイズ共分散を直接指定できます。

R1 = TuningGoal.LQG({'d','n'},{'y','u'},diag([1,1e-2]),diag([1 1e-3]));

次に、コントローラー C を調整して LQG 目的 $J$ を最小化します。

[CL1,J1] = systune(CL0,R1);

Final: Soft = 0.478, Hard = -Inf, Iterations = 40

オプティマイザーが $J= 0.478$ の 2 次コントローラーを検出しました。CLQG の最適な $J$ 値と比較します。

[~,Jopt] = evalGoal(R1,replaceBlock(CL0,'C',CLQG))

Jopt =

    0.4673

性能低下は 5% 未満で、コントローラーの複雑度を 12 から 2 状態へ低減しました。さらに、2 つのコントローラーの $d$ から $y$ へのインパルス応答を比較します。2 つの応答はほぼ同じです。したがって、シンプルな 2 次コントローラーで最適に近い振動減衰を得ることができます。

T0 = feedback(G,CLQG,+1);
T1 = getIOTransfer(CL1,'d','y');
impulse(T0,T1,5)
title('Response to impulse disturbance d')
legend('LQG optimal','2nd-order LQG')

ans = 

  Legend (LQG optimal, 2nd-order LQG) with properties:

         String: {'LQG optimal'  '2nd-order LQG'}
       Location: 'northeast'
    Orientation: 'vertical'
       FontSize: 9
       Position: [0.6361 0.7695 0.2499 0.0789]
          Units: 'normalized'

  Use GET to show all properties

受動 LQG コントローラー

ビームの近似モデルを使用してこれら 2 つのコントローラーを設計しました。推測的に、これらのコントローラーが実際のビームで良好に動作するという保証はありません。ただし、ビームは受動物理システムであり、受動システムの負のフィードバック相互接続は常に安定することはわかっています。したがって、$-C(s)$ が受動的である場合、閉ループ システムが安定することは確信できます。

最適な LQG コントローラーは受動ではありません。実際、$1-CLQG$ は最小位相ですらないため、その相対受動インデックスは無限です。

getPassiveIndex(-CLQG)

ans =

   Inf

これはナイキスト線図によって確認されます。

nyquist(-CLQG)

systune を使用すると、$-C(s)$ が受動的でなければならないという追加の要件によって 2 次コントローラーを再調整できます。これを行うには、yn から u への開ループ伝達関数 ($C(s)$) に対する受動性調整目標を作成します。"WeightedPassivity" 目標を使用してマイナス記号を考慮します。

R2 = TuningGoal.WeightedPassivity({'yn'},{'u'},-1,1);
R2.Openings = 'u';

今度は閉ループ モデル CL1 を再調整して、$-C(s)$ を受動にすることを条件に LQG 目的 $J$ を最小化します。ここでは受動性目標 R2 が厳密な制約として指定されていることに注意してください。

[CL2,J2,g] = systune(CL1,R1,R2);

Final: Soft = 0.478, Hard = 1, Iterations = 37

調整器は前と同様に $J$ 値を達成し、受動性を適用します (1 未満という厳密な制約)。$-C(s)$ が受動的であることを確認します。

C2 = getBlockValue(CL2,'C');
passiveplot(-C2)

LQG 最適コントローラーの改善が最もよく確認できるのは、ナイキスト線図です。

nyquist(-CLQG,-C2)
legend('LQG optimal','2nd-order passive LQG')

ans = 

  Legend (LQG optimal, 2nd-order passive LQG) with properties:

         String: {'LQG optimal'  '2nd-order passive LQG'}
       Location: 'northeast'
    Orientation: 'vertical'
       FontSize: 9
       Position: [0.5486 0.7695 0.3373 0.0789]
          Units: 'normalized'

  Use GET to show all properties

最後に、$d$ から $y$ へのインパルス応答を比較します。

T2 = getIOTransfer(CL2,'d','y');
impulse(T0,T2,5)
title('Response to impulse disturbance d')
legend('LQG optimal','2nd-order passive LQG')

ans = 

  Legend (LQG optimal, 2nd-order passive LQG) with properties:

         String: {'LQG optimal'  '2nd-order passive LQG'}
       Location: 'northeast'
    Orientation: 'vertical'
       FontSize: 9
       Position: [0.5486 0.7695 0.3373 0.0789]
          Units: 'normalized'

  Use GET to show all properties

systune を使用して、ほぼ最適な LQG 性能の 2 次受動コントローラーを設計しました。

参考

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