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dlqr

離散時間状態空間システムに対する線形 2 次 (LQ) 状態フィードバック レギュレーター

構文

[K,S,P] = dlqr(A,B,Q,R,N)

説明

[K,S,P] = dlqr(A,B,Q,R,N) は、離散時間状態空間行列 A および B を使用して、最適ゲイン行列 K、関連する代数リカッチ方程式の解 S、および閉ループ極 P を計算します。この関数は、離散時間モデルに対してのみ有効です。連続時間モデルの場合は、lqr を使用します。

入力引数

A — 状態行列

n 行 n 列の行列

状態行列。n 行 n 列の行列として指定します。ここで n は状態の数です。

B — 入力から状態への行列

n 行 m 列の行列

入力から状態への行列。n 行 m 列の、入力から状態への行列として指定します。ここで m は入力の数です。

Q — 状態コストの重み付き行列

行列

状態コストの重み付き行列。n 行 n 列の行列として指定します。ここで n は状態の数です。Bryson の規則を使用して、以下によって与えられる Q の初期値を設定できます。

$$\begin{array}{l}{Q}_{i,i}=\frac{1}{\text{maximum acceptable value of }{\left(erro{r}_{states}\right)}^2},\text{ i}\in \left\{1,2,\mathrm{...},n\right\}\\ Q=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{1,1}& 0& \cdots & 0\\ 0& Q_{2,2}& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & Q_{n,n}\end{array}\right]\end{array}$$

ここで、n は状態の数です。

R — 入力コストの重み付き行列

スカラー | 行列

入力コストの重み付き行列。スカラーまたは D'D と同じサイズの行列として指定します。ここで D は直達状態空間行列です。Bryson の規則を使用して、以下によって与えられる R の初期値を設定できます。

$$\begin{array}{l}{R}_{j,j}=\frac{1}{\text{maximum acceptable value of }{\left(erro{r}_{inputs}\right)}^2},\text{ j}\in \left\{1,2,\mathrm{...},m\right\}\\ R=\left[\begin{array}{cccc}{R}_{1,1}& 0& \cdots & 0\\ 0& R_{2,2}& \cdots & 0\\ 0& 0& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & R_{m,m}\end{array}\right]\end{array}$$

ここで、m は入力の数です。

N — オプションの交差項行列

0 (既定値) | 行列

オプションの交差項行列。行列として指定します。N が指定されていない場合、lqr は N を既定で 0 に設定します。

出力引数

K — 最適ゲイン

行ベクトル

閉ループ システムの最適ゲイン。サイズが n の行ベクトルとして返されます。ここで n は状態の数です。

S — 関連する代数リカッチ方程式の解

行列

関連する代数リカッチ方程式の解。n 行 n 列の行列として返されます。ここで n は状態の数です。つまり、S の次元は状態空間行列 A と同じです。詳細については、idare を参照してください。

P — 閉ループ システムの極

列ベクトル

閉ループ システムの極。サイズが n の列ベクトルとして返されます。ここで n は状態の数です。

アルゴリズム

dlqr は、状態フィードバック則 $$u\left[n\right]=-Kx\left[n\right]$$ が 2 次コスト関数を最小にするような、最適ゲイン行列 K を計算します。

$$J(u)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(x{\left[n\right]}^{T}Qx\left[n\right]+u{\left[n\right]}^{T}Ru\left[n\right]+2x{\left[n\right]}^{T}Nu}\left[n\right])$$

このとき、離散時間状態空間モデルは $$x\left[n+1\right]=Ax\left[n\right]+Bu\left[n\right]$$ です。

状態フィードバック ゲイン K のほかに、dlqr は関連する離散時間リカッチ方程式の無限ホライズン解 S と

$$A^{T}SA-S-(A^{T}SB+N){(B^{T}SB+R)}^{-1}(B^{T}SA+N^T)+Q=0$$

閉ループ固有値 $$P=eig\left(A-BK\right)$$ を返します。ゲイン行列 K は、以下を使用して S から導出されます。

$$K={(B^{T}SB+R)}^{-1}(B^{T}SA+N^T)$$

いずれの場合も、交差項行列 N を省略すると、dlqr は N を 0 に設定します。

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

idare | lqgreg | lqr | lqrd | lqry