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逆連続ウェーブレット変換

関数 icwt は逆 CWT を実装します。icwt を使用するには、CWT を cwt から求める必要があります。

CWT は冗長な変換であるため、逆数を定義する固有の方法はありません。Wavelet Toolbox™ に実装された逆 CWT は解析的な Morse ウェーブレットと L1 正規化を使用します。

逆 CWT は従来、2 重積分の形式で表現されます。次のアドミッシブル条件を満たすフーリエ変換を使用したウェーブレット ψ があると仮定します。

Cψ=|ψ(ω)|2|ω|dω<

アドミッシブル条件を満たすウェーブレットと有限エネルギー関数 f(t) の場合、逆 CWT を次のように定義できます。

f(t)=1Cψab<f(t),ψa,b(t)>ψa,b(t)dbdaa2

ここで、ψa,b(t)=1aψ(tba)です。

次の条件を満たすウェーブレットと関数を解析する場合、逆 CWT に対する単一の積分公式が存在します。該当する条件は以下のとおりです。

  • 解析された関数 f(t) が実数値であり、解析ウェーブレットに実数値のフーリエ変換がある。

  • 解析された関数 f(t) が実数値であり、解析ウェーブレットのフーリエ変換は非負の周波数セットについてのみサポートをもつ。これは、"解析的" ウェーブレットと呼ばれます。非負の周波数セット上でのみサポートをもつフーリエ変換の関数は複素数値でなければなりません。

前述の条件は指定可能な解析ウェーブレットのセットを制約します。cwt でサポートされるウェーブレットは解析的です。ツールボックスでは実数値関数の解析のみがサポートされるため、解析される関数の実数値条件は常に満たされます。

単一の積分公式を推進するために、ψ1 と ψ2 を次の 2 つの "ウェーブレット" に対するアドミッシブル条件を満たす 2 つの "ウェーブレット" と仮定します。

|ψ1*(ω)||ψ2(ω)||ω|dω<

定数を定義します。

Cψ1,ψ2=ψ1*(ω)ψ2(ω)|ω|dω

上記の定数は複素数値である可能性もあります。f(t) と g(t) を 2 つの有限エネルギー関数と仮定します。2 つの "ウェーブレット" に対するアドミッシブル条件が満たされると、次の方程式が成立します。

Cψ1,ψ2<f,g>=<f,ψ1><g,ψ2>*dbdaa

ここで < , > は内積、* は複素共役を示し、スケールと位置の ψ1 と ψ2 の依存関係は便宜上、省略されています。

逆 CWT に対する単一の積分公式で重要な点は、いずれかの "ウェーブレット" が許容不可でも、2 つの "ウェーブレット" に対するアドミッシブル条件が満たされるのを認識することです。つまり、ψ1 と ψ2 の両方が個々に許容可能である必要はありません。また、いずれかの "関数" と "ウェーブレット" を分布にすることで、要件をさらに緩和できます。最初に g(t) をディラックのデルタ関数 (分布) と仮定し、ψ2 もディラックのデルタ関数として使用可能にすることで、逆 CWT に対する単一の積分公式を導出できます。

f(t)=2Re{1Cψ1,δ0<f(t),ψ1(t)>daa}

ここで Re{ } は実数部を示します。

前の方程式は、すべてのスケールに対してスケーリングされた CWT 係数を加算すると、信号を再構成できることを示しています。

選択したスケールからスケーリングされた CWT 係数を加算することにより、元の信号への Approximation 値を求めます。これは、関心対象の現象がスケールで局在化される状況で役立ちます。

icwt は上記の積分の離散化バージョンを実装します。