whittakerW

ウィッテイカー W 関数

構文

whittakerW(a,b,z)

説明

whittakerW(a,b,z) は、ウィッテイカー W 関数の値を返します。

例

数値入力についてのウィッテイカー W 関数の計算

次の数値についてウィッテイカー W 関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[whittakerW(1, 1, 1), whittakerW(-2, 1, 3/2 + 2*i),...
whittakerW(2, 2, 2), whittakerW(3, -0.3, 1/101)]

ans =
   1.1953            -0.0156 - 0.0225i   4.8616            -0.1692

シンボリック入力についてのウィッテイカー W 関数の計算

シンボリック オブジェクトに変換された数値のウィッテイカー W 関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、whittakerW は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

[whittakerW(sym(1), 1, 1), whittakerW(-2, sym(1), 3/2 + 2*i),...
whittakerW(2, 2, sym(2)), whittakerW(sym(3), -0.3, 1/101)]

ans =
[ whittakerW(1, 1, 1), whittakerW(-2, 1, 3/2 + 2i),
whittakerW(2, 2, 2), whittakerW(3, -3/10, 1/101)]

シンボリックな変数と式の場合も、whittakerW により未解決のシンボリックな呼び出しが返されます。

syms a b x y
[whittakerW(a, b, x), whittakerW(1, x, x^2),...
whittakerW(2, x, y), whittakerW(3, x + y, x*y)]

ans =
[ whittakerW(a, b, x), whittakerW(1, x, x^2),
whittakerW(2, x, y), whittakerW(3, x + y, x*y)]

ウィッテイカー関数の ODE の求解

次の 2 階微分方程式を解きます。解はウィッテイカー関数を用いて与えられます。

syms a b w(z)
dsolve(diff(w, 2) + (-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*w == 0)

ans =
C2*whittakerM(-a, -b, -z) + C3*whittakerW(-a, -b, -z)

ウィッテイカー関数が ODE の解であることの検証

ウィッテイカー W 関数が、次の微分方程式の有効な解であることを検証します。

syms a b z
isAlways(diff(whittakerW(a, b, z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerW(a, b, z) == 0)

ans =
  logical
   1

whittakerW(-a, -b, -z) が次の微分方程式についても有効な解であることを検証します。

syms a b z
isAlways(diff(whittakerW(-a, -b, -z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerW(-a, -b, -z) == 0)

ans =
  logical
   1

ウィッテイカー W 関数の特別な値の計算

ウィッテイカー W 関数には一部のパラメーター用の特別な値があります。

whittakerW(sym(-3/2), 1/2, 0)

ans =
4/(3*pi^(1/2))

syms a b x
whittakerW(0, b, x)

ans =
(x^(b + 1/2)*besselk(b, x/2))/(x^b*pi^(1/2))

whittakerW(a, -a + 1/2, x)

ans =
x^(1 - a)*x^(2*a - 1)*exp(-x/2)

whittakerW(a - 1/2, a, x)

ans =
(x^(a + 1/2)*exp(-x/2)*exp(x)*igamma(2*a, x))/x^(2*a)

ウィッテイカー W 関数の微分

ウィッテイカー W 関数を含む式を微分します。

syms a b z
diff(whittakerW(a,b,z), z)

ans =
- (a/z - 1/2)*whittakerW(a, b, z) -...
whittakerW(a + 1, b, z)/z

行列入力についてのウィッテイカー W 関数の計算

行列 A の要素のウィッテイカー W 関数を計算します。

syms x
A = [-1, x^2; 0, x];
whittakerW(-1/2, 0, A)

ans =
[ -exp(-1/2)*(ei(1) + pi*1i)*1i,...
   exp(x^2)*exp(-x^2/2)*expint(x^2)*(x^2)^(1/2)]
[  0,...
             x^(1/2)*exp(-x/2)*exp(x)*expint(x)]

入力引数

a — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

a がベクトルまたは行列の場合、whittakerW は a の要素ごとにベータ関数を返します。

b — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

b がベクトルまたは行列の場合、whittakerW は b の要素ごとにベータ関数を返します。

z — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

x がベクトルまたは行列の場合、whittakerW は z の要素ごとにベータ関数を返します。

詳細

ウィッテイカー W 関数

ウィッテイカー関数 M_a,b(z) および W_a,b(z) は、次の微分方程式の線形独立解です。

$$\frac{d^{2}w}{d{z}^2}+\left(-\frac{1}{4}+\frac{a}{z}+\frac{1/4-b^2}{z^2}\right)w=0$$

ウィッテイカー W 関数は、合流型超幾何関数によって定義されます。

$$W_{a,b}\left(z\right)=e^{-z/2}{z}^{b+1/2}U\left(b-a+\frac{1}{2},1+2b,z\right)$$

ヒント

• 非スカラー引数はすべて同じサイズでなければなりません。1 つまたは 2 つの入力引数が非スカラーの場合、whittakerW はスカラーを、非スカラー引数と同じサイズの、すべての要素が対応するスカラーと等しいベクトルまたは行列に拡張します。

参照

[1] Slater, L. J. “Cofluent Hypergeometric Functions.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

バージョン履歴

R2012a で導入

参考

hypergeom | kummerU | whittakerM