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kummerU

合流型超幾何クンマー U 関数

説明

kummerU(a,b,z) は合流型超幾何関数の値 U(a,b,z) を計算します。z および a の実数部が正の値であれば、クンマー U 関数の積分表現は次のようになります。

U(a,b,z)=1Γ(a)0eztta1(1+t)ba1dt

解としてクンマー U 関数を返す方程式

dsolve は 2 次常微分方程式の解をクンマー U 関数によって返すことができます。

次の方程式を解きます。ソルバーは解をクンマー U 関数およびその他の超幾何関数として返します。

syms t z y(z)
dsolve(z^3*diff(y,2) + (z^2 + t)*diff(y) + z*y)
ans =
(C4*hypergeom(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i +...
(C3*kummerU(1i/2, 1 + 1i, t/(2*z^2)))/z^1i

数値引数およびシンボリック引数に対するクンマー U 関数

引数に応じて、kummerU は浮動小数点解またはシンボリック厳密解の結果を返します。

次の数値に対するクンマー U 関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

A = [kummerU(-1/3, 2.5, 2)
kummerU(1/3, 2, pi)
kummerU(1/2, 1/3, 3*i)]
A =
   0.8234 + 0.0000i
   0.7284 + 0.0000i
   0.4434 - 0.3204i

シンボリック オブジェクトに変換された数値に対するクンマー U 関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、kummerU は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

symA = [kummerU(-1/3, 2.5, sym(2))
kummerU(1/3, 2, sym(pi))
kummerU(1/2, sym(1/3), 3*i)]
symA =
  kummerU(-1/3, 5/2, 2)
    kummerU(1/3, 2, pi)
 kummerU(1/2, 1/3, 3i)

vpa を使用して、必要な桁数でシンボリックな結果を近似します。

vpa(symA,10)
ans =
                  0.8233667846
                  0.7284037305
 0.4434362538 - 0.3204327531i

クンマー U の特殊な値

クンマー U 関数には、一部のパラメーターに対する特殊な値があります。

a が負の整数の場合、クンマー U 関数は多項式への簡約を行います。

syms a b z
[kummerU(-1, b, z)
kummerU(-2, b, z)
kummerU(-3, b, z)]
ans =
                                                                 z - b
                                           b - 2*z*(b + 1) + b^2 + z^2
 6*z*(b^2/2 + (3*b)/2 + 1) - 2*b - 6*z^2*(b/2 + 1) - 3*b^2 - b^3 + z^3

b = 2*a の場合は、クンマー U 関数は第 2 種変形ベッセル関数を含む式に簡約します。

kummerU(a, 2*a, z)
ans =
(z^(1/2 - a)*exp(z/2)*besselk(a - 1/2, z/2))/pi^(1/2)

a = 1 または a = b の場合には、クンマー U 関数は不完全ガンマ関数を含む式に簡約します。

kummerU(1, b, z)
ans =
z^(1 - b)*exp(z)*igamma(b - 1, z)
kummerU(a, a, z)
ans =
exp(z)*igamma(1 - a, z)

a = 0 の場合は、クンマー U 関数は 1 になります。

kummerU(0, a, z)
ans =
1

クンマー U 関数を含む式の処理

diffint および limit などの関数は kummerU を含む式を処理することができます。

z についクンマー U 関数の 1 次導関数を求めます。

syms a b z
diff(kummerU(a, b, z), z)
ans =
(a*kummerU(a + 1, b, z)*(a - b + 1))/z - (a*kummerU(a, b, z))/z

z についてクンマー U 関数の不定積分を求めます。

int(kummerU(a, b, z), z)
ans =
((b - 2)/(a - 1) - 1)*kummerU(a, b, z) +...
(kummerU(a + 1, b, z)*(a - a*b + a^2))/(a - 1) -...
(z*kummerU(a, b, z))/(a - 1) 

このクンマー U 関数の範囲を求めます。

limit(kummerU(1/2, -1, z), z, 0)
ans =
4/(3*pi^(1/2))

入力引数

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クンマー U 関数のパラメーター。数値、変数、シンボリック式、シンボリック関数またはシンボリック ベクトルとして指定します。

クンマー U 関数のパラメーター。数値、変数、シンボリック式、シンボリック関数またはシンボリック ベクトルとして指定します。

クンマー U 関数の引数。数値、変数、シンボリック式、シンボリック関数またはシンボリック ベクトルとして指定します。z がベクトルの場合、kummerU(a,b,z) は要素ごとに評価されます。

詳細

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合流型超幾何関数 (クンマー U 関数)

合流型超幾何関数 (クンマー U 関数) は次の微分方程式の解の 1 つです。

z2z2y+(bz)zyay=0

他の解は超幾何関数 1F1(a,b,z) です。

ウィッテイカー W 関数はクンマー U 関数によって表すことができます。

Wa,b(z)=ez/2zb+1/2U(ba+12,2b+1,z)

ヒント

  • kummerU は、シンボリック オブジェクトではない数値引数に対し浮動小数点の結果を返します。

  • kummerU は非スカラー入力の要素ごとに働きます。

  • 非スカラー引数はすべて同じサイズでなければなりません。1 つまたは 2 つの入力引数が非スカラーの場合、kummerU はスカラーを、非スカラー引数と同じサイズの、すべての要素が対応するスカラーと等しいベクトルまたは行列に拡張します。

参照

[1] Slater, L. J. “Confluent Hypergeometric Functions.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

バージョン履歴

R2014b で導入