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whittakerM

ウィッテイカー M 関数

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構文

whittakerM(a,b,z)

説明

例

whittakerM(a,b,z) は、ウィッテイカー M 関数の値を返します。

例

数値入力についてのウィッテイカー M 関数の計算

次の数値についてウィッテイカー M 関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[whittakerM(1, 1, 1), whittakerM(-2, 1, 3/2 + 2*i),...
whittakerM(2, 2, 2), whittakerM(3, -0.3, 1/101)]
ans =
   0.7303            -9.2744 + 5.4705i   2.6328             0.3681

シンボリック入力についてのウィッテイカー M 関数の計算

シンボリック オブジェクトに変換された数値のウィッテイカー M 関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (厳密な) 数値について、whittakerM は未解決のシンボリックな呼び出しを返します。

[whittakerM(sym(1), 1, 1), whittakerM(-2, sym(1), 3/2 + 2*i),...
whittakerM(2, 2, sym(2)), whittakerM(sym(3), -0.3, 1/101)]
ans =
[ whittakerM(1, 1, 1), whittakerM(-2, 1, 3/2 + 2i),
whittakerM(2, 2, 2), whittakerM(3, -3/10, 1/101)]

シンボリックな変数と式の場合も、whittakerM により未解決のシンボリックな呼び出しが返されます。

syms a b x y
[whittakerM(a, b, x), whittakerM(1, x, x^2),...
whittakerM(2, x, y), whittakerM(3, x + y, x*y)]
ans =
[ whittakerM(a, b, x), whittakerM(1, x, x^2),...
whittakerM(2, x, y), whittakerM(3, x + y, x*y)]

ウィッテイカー関数の ODE の求解

次の 2 階微分方程式を解きます。解はウィッテイカー関数を用いて与えられます。

syms a b w(z)
dsolve(diff(w, 2) + (-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*w == 0)
ans =
C2*whittakerM(-a,-b,-z) + C3*whittakerW(-a,-b,-z)

ウィッテイカー関数が ODE の解であることの検証

ウィッテイカー M 関数が、次の微分方程式の有効な解であることを検証します。

syms a b z
isAlways(diff(whittakerM(a,b,z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerM(a,b,z) == 0)
ans =
  logical
   1

whittakerM(-a,-b,-z) が次の微分方程式についても有効な解であることを検証します。

syms a b z
isAlways(diff(whittakerM(-a,-b,-z), z, 2) +...
(-1/4 + a/z + (1/4 - b^2)/z^2)*whittakerM(-a,-b,-z) == 0)
ans =
  logical
   1

ウィッテイカー M 関数の特別な値の計算

ウィッテイカー M 関数には一部のパラメーター用の特別な値があります。

whittakerM(sym(-3/2), 1, 1)
ans =
exp(1/2)
syms a b x
whittakerM(0, b, x)
ans =
4^b*x^(1/2)*gamma(b + 1)*besseli(b, x/2)
whittakerM(a + 1/2, a, x)
ans =
x^(a + 1/2)*exp(-x/2)whittakerM(a, a - 5/2, x)
ans =
(2*x^(a - 2)*exp(-x/2)*(2*a^2 - 7*a + x^2/2 -...
x*(2*a - 3) + 6))/pochhammer(2*a - 4, 2)

ウィッテイカー M 関数の微分

ウィッテイカー M 関数を含む式を微分します。

syms a b z
diff(whittakerM(a,b,z), z)
ans =
(whittakerM(a + 1, b, z)*(a + b + 1/2))/z -...
(a/z - 1/2)*whittakerM(a, b, z)

行列入力についてのウィッテイカー M 関数の計算

行列 A の要素のウィッテイカー M 関数を計算します。

syms x
A = [-1, x^2; 0, x];
whittakerM(-1/2, 0, A)
ans =
[ exp(-1/2)*1i, exp(x^2/2)*(x^2)^(1/2)]
[           0,       x^(1/2)*exp(x/2)]

入力引数

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入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

a がベクトルまたは行列の場合、whittakerM は a の要素ごとにベータ関数を返します。

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

b がベクトルまたは行列の場合、whittakerM は b の要素ごとにベータ関数を返します。

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

x がベクトルまたは行列の場合、whittakerM は z の要素ごとにベータ関数を返します。

詳細

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ウィッテイカー M 関数

ウィッテイカー関数 Ma,b(z) および Wa,b(z) は、次の微分方程式の線形独立解です。

d2wdz2+(−14+az+1/4−b2z2)w=0

ウィッテイカー M 関数は、合流型超幾何関数によって定義されます。

Ma,b(z)=e−z/2 zb+1/2 M(b−a+12, 1+2b, z)

ヒント

  • 非スカラー引数はすべて同じサイズでなければなりません。1 つまたは 2 つの入力引数が非スカラーの場合、whittakerM はスカラーを、非スカラー引数と同じサイズの、すべての要素が対応するスカラーと等しいベクトルまたは行列に拡張します。

参照

[1] Slater, L. J. “Cofluent Hypergeometric Functions.” Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds.). New York: Dover, 1972.

バージョン履歴

R2012a で導入

参考

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