integrateByParts

部分積分

構文

G = integrateByParts(F,du)

説明

G = integrateByParts(F,du) は F での積分において部分積分を適用します。ここでは微分 du が積分されます。詳細については、部分積分を参照してください。

F での積分を指定する場合、'Hold' オプションを true に設定して関数 int を使用することで、積分の未評価の形式を返すことができます。その後、integrateByParts を使用して部分積分のステップを表示できます。

例

関数の積

関数の積の積分であるシンボリック式 F を作成します。

syms u(x) v(x)
F = int(u*diff(v))

F(x) = 
$$\int u\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }v\left(x\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

F に部分積分を適用します。

g = integrateByParts(F,diff(u))

g = 
$$u\left(x\right)\hspace{0.17em}v\left(x\right)-\int v\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

指数関数

積分 $\int {\mathit{x}}^2{\mathit{e}}^{\mathit{x}}\mathit{dx}$ に部分積分を適用します。

関数intを使用して積分を定義します。'Hold' オプションを true に設定することにより、積分を評価せずに表示します。

syms x
F = int(x^2*exp(x),'Hold',true)

F = 
$$\int x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

積分のステップを表示するには、F に部分積分を適用し、積分される微分として exp(x) を使用します。

G = integrateByParts(F,exp(x))

G = 
$$x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-\int 2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

H = integrateByParts(G,exp(x))

H = 
$$x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x+\int 2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

関数 release を使用して 'Hold' オプションを無視し、H の積分を評価します。

F1 = release(H)

F1 = $$2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x+x^2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x-2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^x$$

結果を、'Hold' オプションを true に設定しない場合の関数intから返される積分結果と比較します。

F2 = int(x^2*exp(x))

F2 = $${\mathrm{e}}^x\hspace{0.17em}\left(x^2-2\hspace{0.17em}x+2\right)$$

指数関数と三角関数

積分 $\int {\mathit{e}}^{\mathit{ax}}\sin \left(\mathit{bx}\right)\mathit{dx}$ に部分積分を適用します。

関数intを使用して積分を定義します。'Hold' オプションを true に設定することにより、評価せずに積分を表示します。

syms x a b
F = int(exp(a*x)*sin(b*x),'Hold',true)

F = 
$$\int {\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

積分のステップを表示するには、F に部分積分を適用し、積分される微分として ${\mathit{u}}^{\prime }\left(\mathit{x}\right)={\mathit{e}}^{\mathit{ax}}$ を使用します。

G = integrateByParts(F,exp(a*x))

G = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)}{a}-\int \frac{b\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\cos \left(b\hspace{0.17em}x\right)}{a}\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

関数 release を使用して 'Hold' オプションを無視し、G の積分を評価します。

F1 = release(G)

F1 = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)}{a}-\frac{b\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}\cos \left(b\hspace{0.17em}x\right)+b\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)\right)}{a\hspace{0.17em}\left(a^2+b^2\right)}$$

結果を単純化します。

F2 = simplify(F1)

F2 = 
$$-\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}x}\hspace{0.17em}\left(b\hspace{0.17em}\cos \left(b\hspace{0.17em}x\right)-a\hspace{0.17em}\sin \left(b\hspace{0.17em}x\right)\right)}{a^2+b^2}$$

入力引数

F — 積分を含む式

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列

積分を含む式。シンボリック式、シンボリック関数、シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列として指定します。

例: int(u*diff(v))

du — 積分される微分

シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数

積分される微分。シンボリック変数、シンボリック式、またはシンボリック関数として指定します。

例: diff(u)

詳細

部分積分

数学的な観点から、部分積分のルールは不定積分に対しては次のように

$${\displaystyle \int u\text{'}(x)v(x)dx=u(x)v(x)-{\displaystyle \int u(x)v\text{'}(x)dx}}$$

定積分に対しては次のように正式に定義されます。

$${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}u\text{'}(x)v(x)dx}=u(b)v(b)-u(a)v(a)-{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v\text{'}(x)dx}.$$

バージョン履歴

R2019b で導入

参考

changeIntegrationVariable | release | int | diff | vpaintegral