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integrateByParts

説明

G = integrateByParts(F,du)F での積分において部分ごとの積分を適用します。ここでは微分 du が積分されます。詳細については、部分ごとの積分を参照してください。

F での積分を指定する場合、'Hold' オプションを true に設定して関数 int を使用することで、積分の未評価の形式を返すことができます。その後、integrateByParts を使用して部分ごとの積分のステップを表示できます。

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関数の積の積分であるシンボリック式 F を作成します。

syms u(x) v(x)
F = int(u*diff(v))
F(x) = 

u(x)x v(x)dxint(u(x)*diff(v(x), x), x)

F に部分ごとの積分を適用します。

g = integrateByParts(F,diff(u))
g = 

u(x)v(x)-v(x)x u(x)dxu(x)*v(x) - int(v(x)*diff(u(x), x), x)

積分 x2exdx に部分ごとの積分を適用します。

関数intを使用して積分を定義します。'Hold' オプションを true に設定することにより、積分を評価せずに表示します。

syms x
F = int(x^2*exp(x),'Hold',true)
F = 

x2exdxint(x^2*exp(x), x, 'Hold = TRUE', true)

積分のステップを表示するには、F に部分ごとの積分を適用し、積分される微分として exp(x) を使用します。

G = integrateByParts(F,exp(x))
G = 

x2ex-2xexdxx^2*exp(x) - int(2*x*exp(x), x, 'Hold = TRUE', true)

H = integrateByParts(G,exp(x))
H = 

x2ex-2xex+2exdxx^2*exp(x) - 2*x*exp(x) + int(2*exp(x), x, 'Hold = TRUE', true)

関数 release を使用して 'Hold' オプションを無視し、H の積分を評価します。

F1 = release(H)
F1 = 2ex+x2ex-2xex2*exp(x) + x^2*exp(x) - 2*x*exp(x)

結果を、'Hold' オプションを true に設定しない場合の関数intから返される積分結果と比較します。

F2 = int(x^2*exp(x))
F2 = exx2-2x+2exp(x)*(x^2 - 2*x + 2)

積分 eaxsin(bx)dx に部分ごとの積分を適用します。

関数intを使用して積分を定義します。'Hold' オプションを true に設定することにより、評価せずに積分を表示します。

syms x a b
F = int(exp(a*x)*sin(b*x),'Hold',true)
F = 

eaxsin(bx)dxint(exp((a*x))*sin(b*x), x, 'Hold = TRUE', true)

積分のステップを表示するには、F に部分ごとの積分を適用し、積分される微分として u(x)=eax を使用します。

G = integrateByParts(F,exp(a*x))
G = 

eaxsin(bx)a-beaxcos(bx)adx(exp((a*x))*sin(b*x))/a - int((b*exp((a*x))*cos(b*x))/a, x, 'Hold = TRUE', true)

関数 release を使用して 'Hold' オプションを無視し、G の積分を評価します。

F1 = release(G)
F1 = 

eaxsin(bx)a-beaxacos(bx)+bsin(bx)aa2+b2(exp((a*x))*sin(b*x))/a - (b*exp((a*x))*(a*cos(b*x) + b*sin(b*x)))/(a*(a^2 + b^2))

結果を単純化します。

F2 = simplify(F1)
F2 = 

-eaxbcos(bx)-asin(bx)a2+b2-(exp((a*x))*(b*cos(b*x) - a*sin(b*x)))/(a^2 + b^2)

入力引数

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積分を含む式。シンボリック式、シンボリック関数、シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列として指定します。

例: int(u*diff(v))

積分される微分。シンボリック変数、シンボリック式、またはシンボリック関数として指定します。

例: diff(u)

詳細

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部分ごとの積分

数学的な観点から、部分ごとの積分のルールは不定積分に対しては次のように

u'(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v'(x)dx

定積分に対しては次のように正式に定義されます。

abu'(x)v(x)dx=u(b)v(b)u(a)v(a)abu(x)v'(x)dx.

R2019b で導入