changeIntegrationVariable

置換積分

R2019b 以降

構文

G = changeIntegrationVariable(F,old,new)

説明

G = changeIntegrationVariable(F,old,new) は F の積分への置換積分を適用し、old が new で置き換えられます。old は F の積分の前の積分変数に依存し、new は新しい積分変数に依存しなければなりません。詳細については、置換積分を参照してください。

F で積分を指定する場合、'Hold' オプションが true に設定された関数 int を使用して、積分の未評価形式を返すことができます。その後、changeIntegrationVariable を使用して置換積分の手順を表示できます。

例

変数の変更

変数の変更を定積分 ${\int }_{\mathit{a}}^{\mathit{b}}\mathit{f}\left(\mathit{x}+\mathit{c}\right)\mathit{dx}$ に適用します。

積分を定義します。

syms f(x) y a b c
F = int(f(x+c),a,b)

F = 
$${\int }_a^{b}f\left(c+x\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

$\mathit{y}$ への積分で変数 $\mathit{x}+\mathit{c}$ を変更します。

G = changeIntegrationVariable(F,x+c,y)

G = 
$${\int }_{a+c}^{b+c}f\left(y\right)\mathrm{ }\mathrm{d}y$$

置換積分

置換積分を使用して $\int \cos \left(\log \left(\mathit{x}\right)\right)\mathit{dx}$ の積分を求めます。

'Hold' オプションを true に設定することにより、評価せずに積分を定義します。

syms x t
F = int(cos(log(x)),'Hold',true)

F = 
$$\int \cos \left(\log \left(x\right)\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

式 log(x) に t を代入します。

G = changeIntegrationVariable(F,log(x),t) 

G = 
$$\int {\mathrm{e}}^t\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)\mathrm{ }\mathrm{d}t$$

G の積分を評価するには、関数 release を使用して 'Hold' オプションを無視します。

H = release(G)

H = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^t\hspace{0.17em}\left(\cos \left(t\right)+\sin \left(t\right)\right)}{2}$$

t の代わりに、log(x) を復元します。

H = simplify(subs(H,t,log(x)))

H = 
$$\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\sin \left(\frac{\pi }{4}+\log \left(x\right)\right)}{2}$$

結果を、'Hold' オプションを true に設定しない int によって返される積分結果と比較します。

Fcalc = int(cos(log(x)))

Fcalc = 
$$\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\sin \left(\frac{\pi }{4}+\log \left(x\right)\right)}{2}$$

閉形式の解を求める

積分 $\int \mathit{x}\tan \left(\log \left(\mathit{x}\right)\right)\mathit{dx}$ の閉形式の解を求めます。

関数intを使用して積分を定義します。

syms x
F = int(x*tan(log(x)),x)

F = 
$$\int x\hspace{0.17em}\tan \left(\log \left(x\right)\right)\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

関数 int は積分の閉形式の解を求めることができません。

式 log(x) に t を代入します。置換積分を適用します。

syms t
G = changeIntegrationVariable(F,log(x),t)

G = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{2\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}{}_2{\mathrm{F}\text{<a href="matlab:doc symbolic/hypergeom">hypergeom</a>}}_1\left(1,-\mathrm{i};\mathrm{ }1-\mathrm{i};\mathrm{ }-{\mathrm{e}}^{2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}+{\mathrm{e}}^{t\hspace{0.17em}\left(2+2\hspace{0.17em}\mathrm{i}\right)}\hspace{0.17em}{}_2{\mathrm{F}\text{<a href="matlab:doc symbolic/hypergeom">hypergeom</a>}}_1\left(1,1-\mathrm{i};\mathrm{ }2-\mathrm{i};\mathrm{ }-{\mathrm{e}}^{2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)\hspace{0.17em}\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\hspace{0.17em}\mathrm{i}\right)$$

閉形式の解は超幾何関数で表されます。超幾何関数の詳細については、hypergeomを参照してください。

高精度の数値積分

積分 ${\int }_0^1{\mathit{e}}^{\sqrt{\sin \left(\mathit{x}\right)}}\mathit{dx}$ を数値的に高い精度で計算します。

積分 ${\int }_0^1{\mathit{e}}^{\sqrt{\sin \left(\mathit{x}\right)}}\mathit{dx}$ を定義します。積分への閉形式の解は存在しません。

syms x
F = int(exp(sqrt(sin(x))),x,0,1)

F = 
$${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{\sqrt{\sin \left(x\right)}}\mathrm{ }\mathrm{d}x$$

vpaを使用して積分を数値的に有効桁数 10 桁まで計算できます。

F10 = vpa(F,10)

F10 = $$1.944268879$$

代わりに、関数vpaintegralを使用して相対許容誤差を指定することもできます。

Fvpa = vpaintegral(exp(sqrt(sin(x))),x,0,1,'RelTol',1e-10)

Fvpa = $$1.944268879$$

関数 vpa で有効桁数 70 桁の数値積分を求めることはできず、vpaintegral の形式で未評価の積分が返されます。

F70 = vpa(F,70)

F70 = $$1.944268879138581167466225761060083173280747314051712224507065962575967$$

高精度の数値積分を求めるために、変数の変更を実行できます。式 $\sqrt{\sin \left(\mathit{x}\right)}$ に $\mathit{t}$ を代入します。積分を数値的に有効桁数 70 桁まで計算します。

syms t;
G = changeIntegrationVariable(F,sqrt(sin(x)),t)

G = 
$${\int }_0^{\sqrt{\sin \left(1\right)}}\frac{2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^t}{\sqrt{1-t^4}}\mathrm{ }\mathrm{d}t$$

G70 = vpa(G,70)

G70 = $$1.944268879138581167466225761060083173280747314051712224507065962575967$$

入力引数

F — 積分を含む式

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列

積分を含む式。シンボリック式、シンボリック関数、シンボリック ベクトルまたはシンボリック行列として指定します。

old — 代入される部分式

シンボリック スカラー変数 | シンボリック式 | シンボリック関数

代入される部分式。シンボリック スカラー変数、シンボリック式、またはシンボリック関数として指定します。old は F の積分の前の積分変数に依存しなければなりません。

new — 新しい部分式

シンボリック スカラー変数 | シンボリック式 | シンボリック関数

新しい部分式。シンボリック スカラー変数、シンボリック式、またはシンボリック関数として指定します。new は新しい積分変数に依存しなければなりません。

詳細

置換積分

数学的な観点から、代入ルールは不定積分に対しては次のように

$${\displaystyle \int f(g(x))g\text{'}(x)dx}={\left({\displaystyle \int f(t)dt}\right)|}_{t=g(x)}$$

定積分に対しては次のように正式に定義されます。

$${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(x))g\text{'}(x)dx}={\displaystyle \underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(t)dt}.$$

バージョン履歴

R2019b で導入

参考

integrateByParts | release | int | diff | vpaintegral