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三角分布

概要

三角分布は、使用できる標本データが制限されている場合に、確率分布の単純化された表現を提供します。パラメーターは、データの最小値、最大値およびピークです。一般的な応用例として、ビジネスや経済のシミュレーション、プロジェクト管理の計画、自然現象のモデル化、オーディオのディザリングなどがあります。

パラメーター

三角分布は、次のパラメーターを使用します。

パラメーター説明制約
a下限ab
bピークの位置abc
c上限cb

パラメーター推定

通常、標本データに基づき、客観的で妥当な値を使用して、三角分布パラメーターを推定します。標本データの最小値と最大値を使って、それぞれ下限パラメーターと上限パラメーター a と c を推定できます。標本の平均、ラジアン、最頻値または他の客観的に合理性がある母集団の最頻値の推定を使って、ピーク位置パラメーター b を推定できます。

確率密度関数

対数正規分布の確率密度関数 (pdf) は となります。

f(x|a,b,c)={2(xa)(ca)(ba);axb2(cx)(ca)(cb);b<xc0;x<a,x>c.

このプロットは、abc の各パラメーター値の変化が、確率密度関数の形状にどのような変化を与えるかを示しています。

% Create four distribution objects with different parameters
pd1 = makedist('Triangular');
pd2 = makedist('Triangular','a',-1,'b',0,'c',1);
pd3 = makedist('Triangular','a',-.5,'b',0,'c',1);
pd4 = makedist('Triangular','a',0,'b',0,'c',1);

% Compute the pdfs
x = -2:.01:2;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);
pdf4 = pdf(pd4,x);

% Plot the pdfs
figure;
plot(x,pdf1,'r','LineWidth',2)
hold on;
plot(x,pdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,pdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,pdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'a = 0, b = 0.5, c = 1','a = -1, b = 0, c = 1',...
    'a = -0.5, b = 0, c = 1','a = 0, b = 0, c = 1'},'Location','NW');
hold off;

a と c 間の距離が大きくなるにつれて、分布境界内の特定の値における密度は低下します。密度関数は積分されて 1 になるため、幅が増加するにつれて確率密度関数のプロットの高さは低下します。ピーク パラメーター b の場所は、確率密度関数が右または左に歪むかどうかや、対称形となるかどうかを決定します。

累積分布関数

三角分布の累積分布関数 (cdf) は、 です。

F(x|a,b,c)={0,x<a(xa)2(ca)(ba),axb1(cx)2(ca)(cb),b<xc1,x>c.

このプロットは、abc の各パラメーター値の変化が、累積分布関数の形状にどのような変化を与えるかを示しています。

% Create four distribution objects with different parameters
pd1 = makedist('Triangular');
pd2 = makedist('Triangular','a',-1,'b',0,'c',1);
pd3 = makedist('Triangular','a',-.5,'b',0,'c',1);
pd4 = makedist('Triangular','a',0,'b',0,'c',1);

% Compute the cdfs
x = -1.2:.01:1.2;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);
cdf4 = cdf(pd4,x);

% Plot the cdfs
figure;
plot(x,cdf1,'r','LineWidth',2)
xlim([-1.2 1.2]);
ylim([0 1.1]);hold on;
plot(x,cdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,cdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,cdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'a = 0, b = 0.5, c = 1','a = -1, b = 0, c = 1',...
    'a = -0.5, b = 0, c = 1','a = 0, b = 0, c = 1'},'Location','NW');
hold off;

記述統計

三角分布の平均と分散は、a、b および c の各パラメーターに関連しています。

平均は です。

mean=(a+b+c3).

分散は、以下のとおりです。

var=(a2+b2+c2abacbc18).

参考

関連する例

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