signtest

符号検定

構文

p = signtest(x)

p = signtest(x,y)

p = signtest(x,y,Name,Value)

[p,h] = signtest(___)

[p,h,stats] = signtest(___)

[___] = signtest(x,m)

[___] = signtest(x,m,Name,Value)

説明

p = signtest(x) は、両側符号検定の p 値を返します。

signtest は、x のデータが中央値ゼロの分布をもつという仮説を、分布の中央値がゼロではないという対立仮説に対して 5% の有意水準で検定します。

p = signtest(x,y) は、両側符号検定の p 値を返します。ここで signtest は、x – y のデータが中央値ゼロの分布をもつという仮説を、分布の中央値がゼロではないという対立仮説に対して検定します。ここで x – y の中央値がゼロであるという仮説は、x と y の中央値が等しいという仮説とは異なる点に注意してください。

p = signtest(x,y,Name,Value) は、1 つ以上の Name,Value のペア引数で指定された追加のオプションを使用した符号検定の p 値を返します。

[p,h] = signtest(___) は、検定の判定を示す論理値も返します。h = 1 という値は帰無仮説が棄却されることを示し、h = 0 は有意水準 5% で帰無仮説を棄却できないことを示します。前の構文の入力引数のいずれかを使用できます。

[p,h,stats] = signtest(___) は検定統計量に関する情報を含む stats 構造体も返します。

[___] = signtest(x,m) は、x のデータが中央値 m の分布からの観測値であるかどうかの検定として (中央値が m ではないという対立仮説に対する)、前の構文に任意の出力引数を返します。

[___] = signtest(x,m,Name,Value) は、1 つ以上の Name,Value のペア引数により指定される追加のオプションを使用した符号検定について、前の構文の任意の出力引数を返します。

例

1 つの母集団の中央値がゼロかどうかの検定

中央値がゼロであるという仮説を検定します。

標本データを生成します。

rng('default') % for reproducibility
x = randn(1,25);

x の標本分布は対称で、中央値はゼロです。

x の派生元は、中央値がゼロでない分布であるという帰無仮説を検定します。

[p,h,stats] = signtest(x,0)

p = 
0.1078

h = logical
   0

stats = struct with fields:
    zval: NaN
    sign: 17

signtest は、h の結果値が 0 の場合、中央値がゼロであるという帰無仮説を既定の有意水準 5% で棄却できないことを示します。signtest は厳密なメソッドを使用して p 値を計算するため、zval は計算せず NaN として返します。

標本のペアの差の中央値がゼロかどうかの検定

標本のペアの間の差の中央値がゼロであるという仮説を検定します。

標本データを生成します。

rng('default') % for reproducibility
before = lognrnd(2,.25,10,1);
after = before + (lognrnd(0,.5,10,1) - 1);

before と after の差の標本分布は対称で、中央値はゼロです。

before と after の差の中央値がゼロであるという帰無仮説を検定します。

[p,h] = signtest(before,after)

p = 
0.7539

h = logical
   0

signtest は、h の値が 0 の場合、差の中央値がゼロであるという帰無仮説を既定の有意水準 5% で棄却できないことを示します。

標本のペアの中央値

厳密なメソッドと近似メソッドを使用して、2 つの標本のペア間の差の中央値がゼロであるという仮説を検定します。

標本データを生成します。

rng('default') % for reproducibility
x = lognrnd(2,.25,15,1);
y = x + trnd(2,15,1);
display([x y])

    8.4521    7.8047
   11.6869   11.4094
    4.2009    5.1133
    9.1664   12.1655
    8.0020   10.0300
    5.3285    6.0153
    6.6300    5.1235
    8.0499    8.6737
   18.0763   19.2164
   14.7665   15.3380
    5.2726    8.4187
   15.7798   16.2093
    8.8583    8.5575
    7.2735    7.4783
    8.8347    7.8894

x – y の中央値が 0 であるという仮説を検定します。

[p,h,stats] = signtest(x,y)

p = 
0.3018

h = logical
   0

stats = struct with fields:
    zval: NaN
    sign: 5

h の値が 0 の場合、差の中央値がゼロであるという帰無仮説を検定により既定の設定の有意水準 5% で棄却できないことを示します。

近似メソッドを使用して検定をもう一度実行します。

[p,h,stats] = signtest(x,y,'Method','approximate')

p = 
0.3017

h = logical
   0

stats = struct with fields:
    zval: -1.0328
    sign: 5

signtest が z 統計量を使用して取得する $$p$$ 値の近似値は、厳密な $$p$$ 値にきわめて近くなっています。

大規模な標本の検定

大規模な標本に対して左側符号検定を実行します。

標本データを読み込みます。

load gradespaired

個人指導プログラムに参加する前と後で、学生の成績の中央値の差異がゼロであるという帰無仮説を、差異がゼロより小さくなるという対立仮説に対して検定します。

[p,h,stats] = signtest(gradespaired(:,1),gradespaired(:,2),'Tail','left')

p = 
0.0013

h = logical
   1

stats = struct with fields:
    zval: -3.0110
    sign: 37

標本サイズが大きい (100 を超えている) ので、signtest は近似法を使用して $$p$$ 値を計算し、$$z$$ 統計量の値も返します。この検定により、成績の中央値に差異がないという帰無仮説は、有意水準 5% で棄却されました。

1 つの母集団の中央値の検定

母集団の中央値が指定された値と異なるという仮説を検定します。

標本データを読み込みます。

load lawdata

データ セットには、変数 gpa および lsat について 15 の観測値があります。

lsat のスコアの中央値が 570 より大きいという仮説を検定します。

[p,h,stats] = signtest(lsat,570,'Tail','right')

p = 
0.0176

h = logical
   1

stats = struct with fields:
    zval: NaN
    sign: 12

$$p$$ 値 0.0176 と h = 1 は、検定により 5% の有意水準で対立仮説が支持されることを示します。

入力引数

x — 標本データ

ベクトル

ベクトルとして指定される標本データ。

データ型: single | double

y — 標本データ

ベクトル

ベクトルとして指定される標本データ。y は、x と同じ長さでなければなりません。

データ型: single | double

m — 中央値の仮定値。

スカラー

スカラーとして指定される、仮定された中央値です。

例: signtest(x,35)

データ型: single | double

名前と値の引数

オプションの引数のペアを Name1=Value1,...,NameN=ValueN として指定します。ここで、Name は引数名で、Value は対応する値です。名前と値の引数は他の引数の後に指定しなければなりませんが、ペアの順序は重要ではありません。

R2021a より前では、名前と値をそれぞれコンマを使って区切り、Name を引用符で囲みます。

例: 'Alpha',0.01,'Method','approximate','Tail','right' は有意水準 1% の右側符号検定を指定し、p の近似値を返します。

Alpha — 有意水準

0.05 (既定値) | 0 ～ 1 の範囲のスカラー値

仮説検定の有意水準。'Alpha' と、0 ～ 1 の範囲内のスカラー値で構成されるコンマ区切りのペアとして指定します。Alpha の既定値は 0.05 です。h の有意水準は 100 * Alpha% です。

例: 'Alpha', 0.01

データ型: double | single

Method — p 値の計算方法

'exact' | 'approximate'

p 値の計算方法。'Method' と以下のいずれかで構成される、コンマ区切りペアとして指定します。

'exact'	p 値 p の正確な計算。
'approximate'	p 値 p の計算時の正規近似。

既定の計算方法は、観測値の数が 100 に満たない場合は 'exact'、観測値の数が 100 以上の場合は 'approximate' を使用します。

例: 'Method','exact'

Tail — 検定のタイプ

'both' (既定値) | 'right' | 'left'

検定のタイプ。'Tail' と以下のいずれかで構成される、コンマ区切りペアとして指定します。

'both'	両側仮説検定。既定の検定タイプです。 1 標本検定では、x のデータが、中央値がゼロ (または m) でない連続分布から派生しているという対立仮説が立てられます。 2 標本検定では、x-y のデータが、中央値がゼロでない分布から派生しているという対立仮説が立てられます。
'right'	右側仮説検定。 1 標本検定では、x のデータが、中央値がゼロ (または m) より大きい連続分布から派生しているという対立仮説が立てられます。 2 標本検定では、x-y のデータが、中央値がゼロより大きい分布から派生しているという対立仮説が立てられます。
'left'	左側仮説検定。 1 標本検定では、x のデータが、中央値がゼロ (または m) より小さい連続分布から派生しているという対立仮説が立てられます。 2 標本検定では、x-y のデータが、中央値がゼロより小さい分布から派生しているという対立仮説が立てられます。

例: 'Tail','left'

出力引数

p — 検定の p 値

非負のスカラー

0 ～ 1 の非負のスカラーとして返される、検定の p 値。p は、帰無仮説に基づく観測値よりさらに極端な検定統計量が観測される確率です。signtest は、最も有意な片側値を 2 倍にして両側 p 値を計算します。

h — 仮説検定の結果

1 | 0

仮説検定の結果。論理値として返します。

• h = 1 の場合、有意水準 100 * Alpha% で帰無仮説が棄却されることを示します。

• h = 0 の場合、有意水準 100 * Alpha% で帰無仮説を棄却できないことを示します。

stats — 検定統計量

構造体

構造体として返される検定統計量。stats に格納される検定統計量は次のとおりです。

• sign:符号検定統計量の値。

• zval:z 統計量 の値 (大規模な標本の場合のみ計算)。

詳細

符号検定

符号検定は、1 つの母集団の中央値または 2 つの母集団の差の中央値に実行するノンパラメトリック検定です。

たとえば、1 つの母集団の中央値の場合は次のような検定を実行できます。

• 両側検定の場合、検定統計量 S は、仮定中央値 M₀ より小さいまたは大きい複数の観測値のうち、少ない方の値です。

• 右側検定の場合、S は仮定中央値 M₀ よりも大きい観測値の数です。

• 左側検定の場合、S は仮定中央値 M₀ よりも小さい観測値の数です。

z 統計量

大規模な標本の場合、signtest は z 統計量を使用して p 値を近似します。

signtest 検定統計量は、0 より大きい要素の数 (signtest(x) または signtest(x-y) の場合) か、m より大きい要素の数 (signtest(x,m) の場合) です。したがって、連続性補正を使用した符号検定の z 統計量は次のようになります。

$$z=\frac{\left(S-E(S)\right)}{\sqrt{V(S)}}=\frac{\left(S-(0.5)n-0.5sign(npos-nneg)\right)}{\sqrt{(0.5)(0.5)n}},$$

ここで npos と nneg は、仮定される中央値との正の差および負の差の数です。

アルゴリズム

1 標本検定の場合、signtest は x の値のうちゼロまたは NaN である値を省略します。

2 標本検定の場合、signtest は x – y の値のうちゼロまたは NaN である値を省略します。

参照

[1] Gibbons, J. D., and S. Chakraborti. Nonparametric Statistical Inference, 5th Ed. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press, Taylor & Francis Group, 2011.

[2] Hollander, M., and D. A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1999.

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

ranksum | signrank | ttest | ztest