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mvnpdf

多変量正規分布の確率密度関数

説明

y = mvnpdf(X) は、n 行 d 列の行列 X の各行で評価した、ゼロ平均および単位共分散行列をもつ d 次元多変量正規分布の確率密度関数 (pdf) が格納されている n 行 1 列のベクトル y を返します。詳細は、多変量正規分布を参照してください。

y = mvnpdf(X,mu) は、X 内の点の pdf 値を返します。mu によって、関連付けられている各多変量正規分布の平均が決定されます。

y = mvnpdf(X,mu,sigma) は、X 内の点の pdf 値を返します。sigma によって、関連付けられている各多変量正規分布の共分散が決定されます。

sigma のみを指定する場合、mu には既定値のゼロを使用するように [] を指定します。

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一連のランダムな点で、5 次元標準正規分布の pdf を評価します。

5 次元標準正規分布から 8 つの点を無作為に抽出します。

mu = zeros(1,5);
sigma = eye(5);
rng('default')  % For reproducibility
X = mvnrnd(mu,sigma,8)
X = 8×5

    0.5377    3.5784   -0.1241    0.4889   -1.0689
    1.8339    2.7694    1.4897    1.0347   -0.8095
   -2.2588   -1.3499    1.4090    0.7269   -2.9443
    0.8622    3.0349    1.4172   -0.3034    1.4384
    0.3188    0.7254    0.6715    0.2939    0.3252
   -1.3077   -0.0631   -1.2075   -0.7873   -0.7549
   -0.4336    0.7147    0.7172    0.8884    1.3703
    0.3426   -0.2050    1.6302   -1.1471   -1.7115

分布の pdf を X 内の点で評価します。

y = mvnpdf(X)
y = 8×1

    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0054
    0.0011
    0.0015
    0.0003

pdf 値が最大である X 内の点を求めます。

[maxpdf,idx] = max(y)
maxpdf = 0.0054
idx = 5
maxPoint = X(idx,:)
maxPoint = 1×5

    0.3188    0.7254    0.6715    0.2939    0.3252

X 内の 5 番目の点は、無作為に選択した他のどの点よりも pdf 値が大きくなっています。

それぞれ平均が異なる、6 つの 3 次元正規分布を作成します。複数の異なるランダムな点で、各分布の pdf を評価します。

分布の平均 mu と共分散 sigma を指定します。各分布で共分散行列は同じ (単位行列) です。

firstDim = (1:6)';
mu = repmat(firstDim,1,3)
mu = 6×3

     1     1     1
     2     2     2
     3     3     3
     4     4     4
     5     5     5
     6     6     6

sigma = eye(3)
sigma = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

6 つの分布それぞれから無作為に 1 回抽出します。

rng('default')  % For reproducibility
X = mvnrnd(mu,sigma)
X = 6×3

    1.5377    0.5664    1.7254
    3.8339    2.3426    1.9369
    0.7412    6.5784    3.7147
    4.8622    6.7694    3.7950
    5.3188    3.6501    4.8759
    4.6923    9.0349    7.4897

分布の pdf を X 内の点で評価します。1 番目の分布の pdf は点 X(1,:) で、2 番目の分布の pdf は点 X(2,:) で評価されています。他についても同様です。

y = mvnpdf(X,mu)
y = 6×1

    0.0384
    0.0111
    0.0000
    0.0009
    0.0241
    0.0001

一連の与えられた点で、2 次元正規分布の pdf を評価します。

分布の平均 mu と共分散 sigma を指定します。

mu = [1 -1];
sigma = [0.9 0.4; 0.4 0.3];

分布から無作為に 100 回抽出します。抽出対象の点の行列として X を指定します。

rng('default')  % For reproducibility
X = mvnrnd(mu,sigma,100);

分布の pdf を X 内の点で評価します。

y = mvnpdf(X,mu,sigma);

確率密度値をプロットします。

scatter3(X(:,1),X(:,2),y)
xlabel('X1')
ylabel('X2')
zlabel('Probability Density')

10 個の異なる 5 次元正規分布を作成し、指定した点における pdf の値を比較します。

次元 n および d をそれぞれ 10 および 5 に設定します。

n = 10;
d = 5;

多変量正規分布の平均 mu と共分散 sigma を指定します。すべての分布で同じ平均ベクトルを使用し、共分散行列は変化させます。

mu = ones(1,d)
mu = 1×5

     1     1     1     1     1

mat = eye(d);
nMat = repmat(mat,1,1,n);
var = reshape(1:n,1,1,n);
sigma = nMat.*var;

sigma 内の最初の 2 つの共分散行列を表示します。

sigma(:,:,1:2)
ans = 
ans(:,:,1) =

     1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0
     0     0     0     0     1


ans(:,:,2) =

     2     0     0     0     0
     0     2     0     0     0
     0     0     2     0     0
     0     0     0     2     0
     0     0     0     0     2

5 次元空間におけるランダムな点を x に設定します。

rng('default')  % For reproducibility
x = normrnd(0,1,1,5)
x = 1×5

    0.5377    1.8339   -2.2588    0.8622    0.3188

10 個の分布それぞれについて、x における pdf を評価します。

y = mvnpdf(x,mu,sigma)
y = 10×1
10-4 ×

    0.2490
    0.8867
    0.8755
    0.7035
    0.5438
    0.4211
    0.3305
    0.2635
    0.2134
    0.1753

結果をプロットします。

scatter(1:n,y,'filled')
xlabel('Distribution Index')
ylabel('Probability Density at x')

入力引数

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評価点。1 行 d 列の数値ベクトルまたは n 行 d 列の数値行列を指定します。n は正の整数スカラー、d は単一の多変量正規分布の次元です。X の行は観測値 (点) に、列は変数 (座標) に対応します。

X がベクトルである場合、mvnpdfmu の最初の次元または sigma の最後の次元に一致するようにこのベクトルを複製します。

データ型: single | double

多変量正規分布の平均。1 行 d 列の数値ベクトルまたは n 行 d 列の数値行列を指定します。

  • mu がベクトルである場合、mvnpdfsigma の最後の次元に一致するようにこのベクトルを複製します。

  • mu が行列である場合、mu の各行は単一の多変量正規分布の平均ベクトルです。

データ型: single | double

多変量正規分布の共分散。d 行 d 列の正定対称行列または d x d x n の数値配列を指定します。

  • sigma が行列である場合、mvnpdfmu の行数に一致するようにこの行列を複製します。

  • sigma が配列である場合、sigma の各ページ sigma(:,:,i) は単一の多変量正規分布の共分散行列です。したがって、正定対称行列になります。

共分散行列が対角行列であり、対角要素に分散が、非対角要素にゼロ共分散が格納されている場合、対角要素のみが格納されている 1 行 d 列のベクトルまたは 1 x d x n の配列を sigma として指定することもできます。

データ型: single | double

出力引数

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pdf の値。n 行 1 列の数値ベクトルとして返されます。n は、次のいずれかです。

  • X が行列である場合、X の行数

  • X がベクトルである場合、X を複製した回数

X が行列、mu が行列、sigma が配列である場合、mvnpdfX(i,:)mu(i,:)sigma(:,:,i) を使用して y(i) を計算します。

データ型: double

詳細

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多変量正規分布

多変量正規分布は、一変量正規分布を 2 つ以上の変数に一般化したものです。平均ベクトル μ および共分散行列 Σ という 2 つのパラメーターがあり、これらは一変量正規分布の平均および分散パラメーターに類似しています。Σ の対角要素には各変数の分散が、Σ の非対角要素には変数間の共分散が格納されます。

d 次元多変量正規分布の確率密度関数 (pdf) は、次のようになります。

y = f(x,μ,Σ) = 1|Σ|(2π)dexp(12(x-μΣ-1(x-μ)')

ここで、x と μ は 1 行 d 列のベクトル、Σ は d 行 d 列の正定対称行列です。mvnrnd のみが、(特異行列の可能性もある) 半正定行列の Σ を受け入れます。Σ が特異行列である場合、pdf を同じ形式にすることはできません。

x で評価した多変量正規分布の累積分布関数 (cdf) は、多変量正規分布に従うランダムなベクトル v が、上限が次のように x によって定義される半無限の矩形に含まれる確率です。

Pr{v(1)x(1),v(2)x(2),...,v(d)x(d)}.

多変量正規 cdf に閉形式はありませんが、mvncdf は cdf 値を数値的に計算できます。

ヒント

  • 1 次元の場合、sigma は標準偏差ではなく分散です。たとえば、mvnpdf(1,0,4)normpdf(1,0,2) と同じであり、4 は分散、2 は標準偏差です。

参照

[1] Kotz, S., N. Balakrishnan, and N. L. Johnson. Continuous Multivariate Distributions: Volume 1: Models and Applications. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2000.

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R2006a より前に導入