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mvncdf

多変量正規累積分布関数

構文

y = mvncdf(X)
y = mvncdf(X,mu,SIGMA)
y = mvncdf(xl,xu,mu,SIGMA)
[y,err] = mvncdf(...)
[...] = mvncdf(...,options)

説明

y = mvncdf(X) は、X の各行で評価される、0 の平均と単位共分散行列をもつ多変量正規分布の累積確率を返します。n 行 d 列の行列 X の行は観測、または点に対応し、列は変数、または座標に対応します。y は、n 行 1 列のベクトルです。

y = mvncdf(X,mu,SIGMA) は、X の各行で評価される、平均 mu と共分散 SIGMA をもつ多変量正規分布の累積確率を返します。 mu1 行 d 列のベクトル、SIGMA は d 行 d 列の正定対称行列です。mu もスカラー値にすることができ、関数 mvncdf を使用して X のサイズが一致するように複製します。共分散行列が対角に沿った分散と対角でない 0 の共分散を含む対角行列である場合、SIGMA は、対角成分のみを含む 1 行 d 列のベクトルとして指定することもできます。SIGMA のみを指定する場合は、mu で既定値として使用する空行列 [] を渡してください。

X における多変量正規累積確率は、Pr{V(1) X(1),V(2) X(2),...,V(d) X(d)} というように、上限が X によって定義される半無限の矩形内に多変量正規分布の乱数ベクトル V が含まれる確率として定義されます。

y = mvncdf(xl,xu,mu,SIGMA) は、それぞれ xlxu で定義された上限と下限をもつ矩形全体で評価される、多変量正規累積分布を返します。

[y,err] = mvncdf(...) は、y に誤差の推定を返します。二変量分布と三変量分布の場合、mvncdf は、参考文献で説明されている Drezner と Wesolowsky と Genz が開発した手法に基づく t 密度の変換で適応求積法を使用します。これらの場合の既定の設定の絶対許容誤差は、1e-8 です。4 次元以上の場合、mvncdf は、参考文献で説明されているように Genz と Bretz が開発した手法に基づく準モンテカルロの積分アルゴリズムを使用します。これらの場合の既定の設定の絶対許容誤差は、1e-4 です。

[...] = mvncdf(...,options) は、y の計算に使用される数値積分に対する制御パラメーターを指定します。この引数は、statset の呼び出しで作成されます。statset パラメーターの選択は以下のとおりです。

  • 'TolFun' — 最大絶対許容誤差。既定の設定では、d < 4 の場合 1e-8 で、d >= 4 の場合 1e-4 です。

  • 'MaxFunEvals' — d ≥ 4 である場合に許容される被積分関数の評価の最大数。既定値は 1e7 です。d < 4 である場合、'MaxFunEvals' は無視されます。

  • 'Display' — 表示出力レベル。選択肢は 'off' (既定値)、'iter''final' です。'Display' は、d < 4 の場合には無視されます。

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mu = [1 -1] および SIGMA = [.9 .4; .4 .3] の各パラメーターを使用して多変量正規分布の CDF を計算し、プロットします。

mu = [1 -1];
SIGMA = [.9 .4; .4 .3];
figure;
[X1,X2] = meshgrid(linspace(-1,3,25)',linspace(-3,1,25)');
X = [X1(:) X2(:)];
p = mvncdf(X,mu,SIGMA);
surf(X1,X2,reshape(p,25,25));

参照

[1] Drezner, Z. “Computation of the Trivariate Normal Integral.” Mathematics of Computation. Vol. 63, 1994, pp. 289–294.

[2] Drezner, Z., and G. O. Wesolowsky. “On the Computation of the Bivariate Normal Integral.” Journal of Statistical Computation and Simulation. Vol. 35, 1989, pp. 101–107.

[3] Genz, A. “Numerical Computation of Rectangular Bivariate and Trivariate Normal and t Probabilities.” Statistics and Computing. Vol. 14, No. 3, 2004, pp. 251–260.

[4] Genz, A., and F. Bretz. “Numerical Computation of Multivariate t Probabilities with Application to Power Calculation of Multiple Contrasts.” Journal of Statistical Computation and Simulation. Vol. 63, 1999, pp. 361–378.

[5] Genz, A., and F. Bretz. “Comparison of Methods for the Computation of Multivariate t Probabilities.” Journal of Computational and Graphical Statistics. Vol. 11, No. 4, 2002, pp. 950–971.

拡張機能

R2006a で導入