マス-バネ-ダンパーシステムの間接的な MRAC 制御

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この例では、2 次マス-バネ-ダンパーシステムのモデルパラメーターの推定に Simulink の間接的なモデル規範形適応制御 (MRAC) システムを使用する方法を示します。マス-バネ-ダンパーシステムのプロパティは不明です。間接的な MRAC コントローラーはプラントのパラメーターを推定し、参照モデルを追従する反転ベースのコントローラーを実装します。

マス-バネ-ダンパーモデル

マス-バネ-ダンパーシステムは、互いに接続された 2 台のマスカート $m_{1}$ および $m_{2}$ で構成されており、剛性係数 $c_{0}$ および $c_{1}$ のバネと減衰係数 $d$ のダンパーを介して接地されています。

バネ-マス-ダンパーシステムを定義する不明な動的システムは次のように記述できます。

$\dot{x (t)} = Ax (t) + Bu (t)$

$A = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{(c_{0} + c_{1})}{m_{1}} & - \frac{2 d}{m_{1}} & \frac{c_{1}}{m_{1}} & \frac{d}{m_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{c_{1}}{m_{2}} & \frac{d}{m_{2}} & - \frac{c_{1}}{m_{2}} & - \frac{2 d}{m_{2}} \end{array}], B = [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ \frac{1}{m_{1}} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_{2}} \end{array}]$

ここで

$x = [p_{1}, \dot{p_{1}}, p_{2}, \dot{p_{2}}]$ はシステムの状態ベクトルです。
$p_{1}$ および $p_{2}$ は質量の位置です。
$A$ および $B$ は不明なシステムのパラメーターです。

この不明な非線形システムについて、次の参照を追従できるコントローラーを設計することが目標です。

$\dot{x_{m}} (t) = A_{m} x_{m} (t) + B_{m} r (t)$

$A_{m} = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 25 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 25 & - 10 \end{array}], B_{m} = [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 25 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 25 \end{array}]$

ここで

$x_{m}$ には参照モデルの状態が含まれます。
$A_{m}$ および $B_{m}$ は参照システムのパラメーターです。
$r (t)$ はユーザーによって提供される基準信号です。

設定値追従コントローラー

間接的な MRAC コントローラーは推定器モデルを使用して $A_{}^{ˆ}$ と $B_{}^{ˆ}$ を計算します。これらはそれぞれ、不明なシステムパラメーター $A$ と $B$ の推定値です。

${x_{}^{ˆ}}_{}^{˙} = A_{}^{ˆ} x (t) + B_{}^{ˆ} u (t)$

制御動作 $u (t)$ を計算するために、コントローラーはフィードフォワードゲイン $k_{r}$ とフィードバックゲイン $k_{x}$ を使用します。

$u (t) = - k_{x} x (t) + k_{r} r (t)$

コントローラーゲインは参照モデルパラメーター ( $A_{m}$ と $B_{m}$ ) および推定オブザーバーパラメーター ( $A_{}^{ˆ}$ と $B_{}^{ˆ}$ ) から導出されます。

$\begin{array}{l} k_{r} = \frac{B_{m}}{B_{}^{ˆ}} \\ k_{x} = \frac{1}{B_{}^{ˆ}} (A_{m} - A_{}^{ˆ}) \end{array}$

コントローラーの構成

マス-バネ-ダンパーシステムの実際の剛性係数、減衰係数、および質量を指定します。

% Stiffness
c0 = 1;
c1 = 1;
% Damping
d = 1;
% Mass
m1 = 5;
m2 = 1;

以下のシステムパラメーターを使用して実際のシステムダイナミクスを定義します。

A = [0 1 0 0;-(c0+c1)/m1 -2*d/m1 c1/m1 d/m1;
    0 0 0 1;c1/m2 d/m2 -c1/m2 -2*d/m2]

A = 4×4

         0    1.0000         0         0
   -0.4000   -0.4000    0.2000    0.2000
         0         0         0    1.0000
    1.0000    1.0000   -1.0000   -2.0000

B = [0 0;1/m1 0;0 0;0 1/m2]

B = 4×2

         0         0
    0.2000         0
         0         0
         0    1.0000

この実際のモデルは、間接的な MRAC コントローラーでは不明です。代わりに、コントローラーは推定器モデルを使用して不明なプラントダイナミクスを推定します。動作中、コントローラーはこのモデルのパラメーターを適応させ、不明なシステムパラメーターの推定値を改善できます。

Ahat = [0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0 0];
Bhat = [0 0.1;0.1 0;0 0;0.1 0.1];

コントローラーの目標は、参照モデルの性能を追従することです。参照モデルのパラメーターを指定します。

Am = [0 1 0 0;-25 -10 0 0;0 0 0 1;0 0 -25 -10];
Bm = [0 0;25 0;0 0;0 25];

プラントの初期条件を指定します。

x_0 = 0;

推定器モデルパラメーターを更新するための学習率を指定します。

gamma_a = 0.1;  % Ahat learning rate
gamma_b = 0.1;  % Bhat learning rate

コントローラーのシミュレーション

Simulink モデルを開きます。

mdl = 'mracMassSpringDamper';
open_system(mdl)

このモデルには次の項目が含まれています。

Actual Plant Model ブロックは、マス-バネ-ダンパーシステムのノミナルモデルを実装します。
Reference ブロックは、両方の質量の基準信号を生成します。
Model Reference Adaptive Control ブロックは、推定器モデルの使用から導出される制御動作 "u" を出力します。

MRAC コントローラーでは制御対象のシステムで不明な外乱も推定できますが、この例ではそのような外乱がありません。代わりに、コントローラーの目標は不明なプラントモデルのパラメーターを単純に推定することです。直接的な MRAC コントローラーを使用した不明な外乱を推定する例については、ウイングロックが発生した航空機のモデル規範形適応制御を参照してください。

モデルのシミュレーションを実行します。

Tf = 100;
sim(mdl);

質量の位置である実際のプラント状態を、対応する基準信号とともに表示します。コントローラーは実際のプラント状態を使用して基準信号を追従できます。

open_system(mdl + "/p1")

open_system(mdl + "/p2")

Model Reference Adaptive Controller ブロックは、"Ahat" と "Bhat" の出力端子を使用して推定器モデルのパラメーター $A_{}^{ˆ}$ と $B_{}^{ˆ}$ をそれぞれ出力するように設定されています。パラメーターをプロットします。