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パラメトリック法

信号長が短い場合、パラメトリック法は、ノンパラメトリック法よりも高い解像度を提供します。これら 2 つの方法は、スペクトル推定へのアプローチが異なるもので、データから直接 PSD を推定する代わりに、データをホワイト ノイズがある線形システムに入力した結果の出力として "モデル化" するもので、結果として、その線形モデルのパラメーターを推定するものです。

一般的に使用される線形システム モデルは、"全極モデル" で、z 平面の原点に、すべての零点をもつフィルターです。このようなフィルターへのホワイト ノイズの出力は、自己回帰 (AR) 過程です。このために、これらの方法は、スペクトル推定の "AR 法" と見なされます。

AR 法には、ピークのあるデータ、すなわち、PSD がある周波数で大きくなるデータのスペクトルを適切に記述する傾向があります。多くの実際的アプリケーション中のデータ (たとえば音声のような) は、"ピークのあるスペクトル" を示す傾向があるため、AR モデルは多くの場合有効となります。加えて、AR モデルは、比較的簡単に解くことのできる線形方程式系を導きます。

Signal Processing Toolbox™ では、スペクトル推定に対して、以下の AR 法を提供しています。

• ユール・ウォーカー AR 法 (自己相関法)

• バーグ法

• 共分散法

• 修正共分散法

すべての AR 法は、次式で得られる PSD を与えます。

$$\widehat{P}(f)=\frac{1}{F_s}\frac{{\epsilon }_p}{{\left|1-{\displaystyle \sum _{k=1}^p{\widehat{a}}_p}(k)e^{-j2\pi kf/F_s}\right|}^2}.$$

異なった AR 法ではパラメーターをわずかに異なった形で推定し、異なった PSD 推定を与えます。次の表は、種々の AR 法をまとめたものです。

AR 法

	バーグ	共分散	修正共分散	ユール・ウォーカー
特性	データへのウィンドウ適用なし	データへのウィンドウ適用なし	データへのウィンドウ適用なし	データにウィンドウを適用
	レビンソン再帰法を満たす制約の AR 係数をもち、前方予測と後方予測誤差を最小二乗的に最小化	前方予測誤差を最小二乗的に最小化	前方および後方予測誤差を最小二乗的に最小化	前方予測誤差を最小二乗的に最小化 (別名「自己相関法」)
利点	短いデータ レコードにおける高い解像度	短いデータ レコードにおける、ユール・ウォーカー法を上回る解像度 (より正確な推定)	短いデータ レコードにおける高い解像度	大規模データ レコードにおける、他の方法に比肩する性能
	常に安定モデルを作成	p またはより基本的な正弦波から構成されるデータからの周波数抽出が可能	p またはより基本的な正弦波から構成されるデータからの周波数抽出が可能	常に安定モデルを作成
			スペクトル線分割による損失なし
欠点	ピーク位置の初期位相への高依存	不安定モデル作成の可能性	不安定モデル作成の可能性	短いデータ レコードにおける相対的低性能化
	ノイズを伴うまたは高次数時の正弦波におけるスペクトル線分割による損失可能性	ノイズを伴う正弦波の推定における周波数バイアス	ピーク位置の初期位相への軽度の依存	ノイズを伴う正弦波の推定における周波数バイアス
	ノイズを伴う正弦波の推定における周波数バイアス		ノイズを伴う正弦波の推定における軽度の周波数バイアス
非特異化条件		次数が入力フレーム サイズの半分以下であること	次数が入力フレーム サイズの 2/3 以下であること	推定のバイアスにより自己相関行列の正定値が保証されるため、非特異

ユール・ウォーカー AR 法

スペクトル推定の "ユール・ウォーカー法" では、ユール・ウォーカー方程式を行列形式で表した次の線形システムを解くことにより、AR パラメーターが計算されます。

$\left[\begin{array}{cccc}\mathit{r}\left(0\right)& \mathit{r}\left(1\right)& \cdots & \mathit{r}\left(\mathit{p}-1\right)\\ \mathit{r}\left(1\right)& \mathit{r}\left(0\right)& \cdots & \mathit{r}\left(\mathit{p}-2\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathit{r}\left(\mathit{p}-1\right)& \mathit{r}\left(\mathit{p}-2\right)& \cdots & \mathit{r}\left(0\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{a}\left(1\right)\\ \mathit{a}\left(2\right)\\ ⋮\\ \mathit{a}\left(\mathit{p}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{r}\left(1\right)\\ \mathit{r}\left(2\right)\\ ⋮\\ \mathit{r}\left(\mathit{p}\right)\end{array}\right]$.

実際には、自己相関のバイアス推定が、未知の真の自己相関に使用されます。ユール・ウォーカー AR 法では、最大エントロピー推定器として同じ結果が生成されます。

自己相関関数のバイアス付き推定の使用は、上の自己相関行列が正定値である必要があります。そのため、行列が可逆で、解が存在することは保証されます。さらに、計算される AR パラメーターは、安定な全極モデルに常になります。ユール・ウォーカー方程式は、自己相関行列のエルミート・テプリッツ構造を利用するレビンソンのアルゴリズムを使用して効率的に解くことができます。

このツールボックスの関数pyulearは、ユール・ウォーカー AR 法を実装します。例として、ウェルチ法とユール・ウォーカー AR 法を使用して、音声信号のスペクトルを求め、比較します。最初に、ウェルチ ピリオドグラムを計算してプロットします。

load mtlb
pwelch(mtlb,hamming(256),128,1024,Fs)

ユール・ウォーカー AR スペクトルは、ピリオドグラムのものよりも、単純な全極モデルであるために、よりスムーズです。

order = 14;
pyulear(mtlb,order,1024,Fs)

バーグ法

AR スペクトル推定のバーグ法は、レビンソン・ダービン再帰法を満たして、前方/後方予測誤差を最小にすることをベースにしています。他の AR 推定法と比べて、バーグ法は、自己相関関数を計算することを避け、代わりに、直接、反射係数を計算しています。

バーグ法の最大の特長は、ノイズ レベルが低い信号内の近接した位置にある正弦波の分解能、および短いデータ レコードの推定であり、この場合、AR パワー スペクトル密度推定は、真の値に非常に近いものになります。加えてバーグ法では、安定した、計算効率の高い AR モデルが実現されます。

バーグ法の精度は、高次のモデル、データ長の長いもの、S/N 比が高いもの (これは、スペクトルの中での "ライン分割" または無数のピークをもつことになります) に対して、低くなります。バーグ法により計算されるスペクトル密度推定は、ノイズを含んだ正弦波信号の初期位相に影響する周波数のシフトを受け入れます。この影響は、短いデータ シーケンスを解析する場合に、強調されます。

このツールボックスの関数pburgはバーグ法を実装します。音声信号のスペクトル推定をバーグ法とユール・ウォーカー AR 法で計算し、比較します。最初に、バーグ推定を計算してプロットします。

load mtlb
order = 14;
pburg(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

信号の長さが十分な場合は、ユール・ウォーカー推定はよく似ています。

pyulear(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

ノイズを含む信号のスペクトルをバーグ法とウェルチ法を使用して計算し、比較します。分散 0.1² のホワイト ガウス ノイズに含まれる、周波数が 140 Hz と 150 Hz の 2 成分の正弦波信号を作成します。2 番目の成分の振幅は最初の成分の 2 倍です。信号は 1 kHz で 1 秒間サンプリングされます。最初に、ウェルチ スペクトル推定を計算してプロットします。

fs = 1000;
t = (0:fs)/fs;
A = [1 2];
f = [140;150];
xn = A*cos(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));

pwelch(xn,hamming(256),128,1024,fs)

モデルの次数 14 を使用してバーグ推定を計算してプロットします。

pburg(xn,14,1024,fs)

共分散と修正共分散法

AR スペクトル推定の共分散法は、前方予測誤差を最小にすることをベースにしています。修正共分散法は、前方/後方予測誤差を最小にすることをベースにしています。このツールボックスの関数pcovおよびpmcovは、それぞれの方法を実装します。

音声信号のスペクトルを共分散法と修正共分散法で計算し、比較します。共分散法の推定を最初に計算してプロットします。

load mtlb
pcov(mtlb(1:64),14,1024,Fs)

変更した共分散法の推定は、信号長が短い場合でさえ、ほぼ等しくなります。

pmcov(mtlb(1:64),14,1024,Fs)

参考

関数

• pburg | pcov | pmcov | pyulear