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xcov

相互共分散

構文

c = xcov(x,y)

c = xcov(x)

c = xcov(___,maxlag)

c = xcov(___,scaleopt)

[c,lags] = xcov(___)

説明

c = xcov(x,y) は 2 つの離散時間列の相互共分散を返します。相互共分散は、ベクトル x と、ベクトル y のシフトされた (ラグのある) コピーとの間の類似度を、そのラグの関数として測定します。x と y の長さが異なる場合、関数は短い方のベクトルの末尾にゼロを付加して、もう一方のベクトルと同じ長さにします。

c = xcov(x) は、x の自己共分散列を返します。x が行列の場合、c は、その列に x の列のすべての組み合わせに対する自己共分散列と相互共分散列を含む行列です。

c = xcov(___,maxlag) は、前述の構文のいずれかに関して、ラグの範囲を -maxlag から maxlag までに設定します。

c = xcov(___,scaleopt) は、相互共分散または自己共分散の正規化オプションも指定します。'none' (既定) 以外のオプションでは、入力 x と y の長さを同じにする必要があります。

[c,lags] = xcov(___) は、共分散の計算対象となるラグも返します。

例

2 つの乱数ベクトルの相互共分散

乱数のベクトル x と、右に 3 要素分シフトさせた x に等しいベクトル y を作成します。x と y の推定される相互共分散を計算してプロットします。x と y の要素が厳密に (-3) に一致するときに、ラグ値で最大スパイクが発生します。

rng default
x = rand(20,1);
y = circshift(x,3);
[c,lags] = xcov(x,y);
stem(lags,c)

乱数ベクトルの自己共分散

20 行 1 列の乱数ベクトルを作成し、推定される自己共分散を計算してプロットします。ベクトルが厳密にそれ自体と等しくなるときに、ゼロ ラグで最大スパイクが発生します。

rng default
x = rand(20,1);
[c,lags] = xcov(x);
stem(lags,c)

正規化されたノイズの自己共分散

$$-10\le m\le 10$$ におけるホワイト ガウス ノイズ $$c(m)$$ の推定される自己共分散を計算してプロットします。ゼロ ラグで単位元になるようにシーケンスを正規化します。

rng default
x = randn(1000,1);
maxlag = 10;
[c,lags] = xcov(x,maxlag,'normalized');
stem(lags,c)

シフトされた 2 つの信号のバイアスされた相互共分散

互いに 50 サンプル分循環的にシフトされた 2 つの信号で構成される 1 つの信号を作成します。

rng default
shft = 50;
s1 = rand(150,1);
s2 = circshift(s1,[shft 0]);
x = [s1 s2];

自己共分散列と相互共分散列のバイアス付き推定を計算してプロットします。出力行列 c は、$$c=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{s_1{s}_1}& c_{s_1{s}_2}& c_{s_2{s}_1}& c_{s_2{s}_2}\end{array}\right)$$ を満たす 4 列のベクトルとして構成されます。循環シフトの結果として、${\mathit{c}}_{{\mathit{s}}_1{\mathit{s}}_2}$ は -50 および +100 で最大値を取り、${\mathit{c}}_{{\mathit{s}}_2{\mathit{s}}_1}$ は +50 および -100 で最大値を取ります。

[c,lags] = xcov(x,'biased');
plot(lags,c)
legend('c_{s_1s_1}','c_{s_1s_2}','c_{s_2s_1}','c_{s_2s_2}')

入力引数

x — 入力配列

ベクトル | 行列 | 多次元配列

入力配列。ベクトル、行列または多次元配列として指定します。x が多次元配列である場合、xcov はすべての次元にわたって列方向に処理し、自己共分散と相互共分散をそれぞれ行列の列として返します。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

y — 入力配列

ベクトル

入力配列。ベクトルとして指定します。

データ型: single | double
複素数のサポート: あり

maxlag — 最大ラグ

整数値スカラー

最大ラグ。整数値スカラーとして指定します。maxlag を指定した場合、返される相互共分散列の範囲は -maxlag から maxlag までです。既定では、ラグの範囲は 2N – 1 です。ここで、N は入力 x および y の長さのうちの大きい方になります。

データ型: single | double

scaleopt — 正規化オプション

'none' (既定値) | 'biased' | 'unbiased' | 'normalized' | 'coeff'

正規化オプション。以下のいずれかとして指定します。

• 'none' — スケーリングされていない生データの相互共分散。入力 x と y の長さが異なる場合、'none' は唯一有効なオプションです。

• 'biased' — バイアスされた相互共分散の推定。

• 'unbiased' — バイアスされていない相互共分散の推定。

• 'normalized' または 'coeff' — ゼロ ラグでの自己共分散が 1 になるようにシーケンスを正規化。

出力引数

c — 相互共分散または自己共分散

ベクトル | 行列

相互共分散または自己共分散。ベクトルまたは行列として返されます。

x が M × N の行列である場合、xcov(x) は、x の列の自己共分散と相互共分散をもつ (2M – 1) × N² の行列を返します。最大ラグ maxlag を指定した場合、出力 c のサイズは (2 × maxlag + 1) × N² になります。

たとえば、S が 3 列、つまり、$$\text{S}=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right)$$ である場合、C = xcov(S) の結果は次のように構成されます。

$$\text{c}=\left(\begin{array}{lllllllll}{c}_{x_1{x}_1}\hfill & c_{x_1{x}_2}\hfill & c_{x_1{x}_3}\hfill & c_{x_2{x}_1}\hfill & c_{x_2{x}_2}\hfill & c_{x_2{x}_3}\hfill & c_{x_3{x}_1}\hfill & c_{x_3{x}_2}\hfill & c_{x_3{x}_3}\hfill \end{array}\right).$$

lags — ラグのインデックス

ベクトル

ラグのインデックス。ベクトルとして返されます。

詳細

相互共分散と自己共分散

xcov は、入力の平均を計算し、平均を差し引いてから、関数 xcorr を呼び出します。

xcov の結果は、2 つの乱数列間の共分散の推定、あるいは確定的な 2 つの信号間の確定的な共分散として解釈することができます。

共に定常的な 2 つのランダム過程 x_n と y_n の真の相互共分散列は、平均を除去したシーケンスの相互相関です。

$${\varphi }_{xy}(m)=E\{(x_{n+m}-{\mu }_x){(y_n-{\mu }_y)}^{\ast })\},$$

ここで、μ_x と μ_y は、2 つの定常的なランダム過程の平均値です。アスタリスクは複素共役を表し、E は期待値演算子です。実際には、無限長のランダム過程の 1 つで、実現のある有限部分しか使用できないため、xcov はシーケンスのみを推定します。

既定では、xcov では正規化を行わずに生データの共分散が計算されます。

$$c_{xy}(m)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-m-1}\left(x_{n+m}-\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{x}_i}\right)\left(y_n^{\ast }-\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{i=0}^{N-1}{y}_i^{\ast }}\right),}\hfill & m\ge 0,\hfill \\ c_{yx}^{\ast }(-m),\hfill & m<0.\hfill \end{array}$$

出力ベクトル c の要素は次で与えられます。

$$\text{c(m)}=c_{xy}(m-N),m=1,\dots ,2N-1.$$

共分散関数では、関数を適切に推定するために正規化が必要です。入力引数 scaleopt を使用して、相関の正規化を制御できます。

参照

[1] Orfanidis, Sophocles J. Optimum Signal Processing: An Introduction. 2nd Edition. New York: McGraw-Hill, 1996.

[2] Larsen, Jan. “Correlation Functions and Power Spectra.” November, 2009. https://www2.imm.dtu.dk/pubdb/edoc/imm4932.pdf

拡張機能

tall 配列

メモリの許容量を超えるような多数の行を含む配列を計算します。

使用上の注意事項および制限事項:

• 入力 x は tall 列ベクトルでなければなりません。

• 入力 y は非 tall ベクトルでなければなりません。

• 構文 xcov(x) はサポートされていません。

• scaleopt オプションはサポートされていません。

• maxlag を指定する場合、maxlag <= max(numel(x),numel(y))-1 を満たさなければなりません。

• 出力 lags は tall 列ベクトルとして返されます。

詳細については、tall 配列を参照してください。

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

スレッドベースの環境

MATLAB® の backgroundPool を使用してバックグラウンドでコードを実行するか、Parallel Computing Toolbox™ の ThreadPool を使用してコードを高速化します。

この関数はスレッドベースの環境を完全にサポートしています。詳細については、スレッドベースの環境での MATLAB 関数の実行を参照してください。

GPU 配列

Parallel Computing Toolbox™ を使用してグラフィックス処理装置 (GPU) 上で実行することにより、コードを高速化します。

この関数は GPU 配列を完全にサポートしています。詳細については、GPU での MATLAB 関数の実行 (Parallel Computing Toolbox)を参照してください。

たとえば、信号 x から gpuArray オブジェクトを作成して、推定される自己共分散を計算します。

t = 0:0.001:10-0.001;
x = cos(2*pi*10*t) + randn(size(t));  
X = gpuArray(x);                       
[c,lags] = xcov(X,200);     
c = gather(c);

参考

conv | corrcoef | cov | xcorr