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状態空間モデルとは

状態空間モデルの定義

"状態空間モデル" とは、状態変数を使用し、1 つ以上の n 階微分方程式または差分方程式ではなく、一連の 1 階微分方程式または差分方程式によってシステムを記述するモデルです。状態変数 x(t) は測定された入出力データから再構成できますが、実験中にそれ自体は測定されません。

状態空間モデル構造で指定する必要があるのは 1 つの入力 ("モデル次数"n) のみなので、クイック推定に適しています。"モデル次数"x(t) の次元と等しい整数です。対応する線形差分方程式で使用される遅延入出力の数に関連しますが、必ずしも等しくなるとは限りません。

連続時間表現

物理法則の多くは微分方程式によって記述されるため、多くの場合、パラメーター化された状態空間モデルを連続時間で定義する方が簡単です。連続時間では、状態空間記述は次の形式になります。

x˙(t)=Fx(t)+Gu(t)+K˜w(t)y(t)=Hx(t)+Du(t)+w(t)x(0)=x0

行列 FGH、および D には、材料定数などの物理的な意味をもつ要素が含まれます。x0 は初期状態を指定します。

メモ

K˜ = 0 により、出力誤差モデルの状態空間表現が与えられます。詳細については、What Are Polynomial Models?を参照してください。

時間領域データと周波数領域データの両方を使用して、連続時間状態空間モデルを推定できます。

離散時間表現

離散時間状態空間モデル構造は、多くの場合、ノイズを記述する "イノベーション形式" で書き込まれます。

x(kT+T)=Ax(kT)+Bu(kT)+Ke(kT)y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)+e(kT)x(0)=x0

ここで、T はサンプル時間、u(kT)kT 時点での入力、y(kT)kT 時点での出力です。

メモ

K = 0 により、出力誤差モデルの状態空間表現が与えられます。出力誤差モデルの詳細については、What Are Polynomial Models?を参照してください。

離散時間状態空間モデルは、線形 ARMAX モデルと同じタイプの入力と出力間の線形差分関係を提供しますが、式に遅延が 1 つのみになるように再配列されます。

連続時間周波数領域データを使用して離散時間状態空間モデルを推定することはできません。

イノベーション形式は独立したプロセスおよび測定ノイズではなく、1 つのノイズ源 e(kT) を使用します。プロセスおよび測定ノイズについての事前情報がある場合、線形グレー ボックス推定を使用して、構造化された独立したノイズ源をもつ状態空間モデルを同定できます。詳細については、Identifying State-Space Models with Separate Process and Measurement Noise Descriptionsを参照してください。

連続時間状態行列と離散時間状態行列の関係

離散状態空間行列 ABCD、および K と、連続時間状態空間行列 FGHD、および K˜ の関係は、次のような区分的定数入力に対して指定されます。

A=eFTB=0TeFτGdτC=H

これらの関係では、入力が時間間隔 kTt<(k+1)T に対する区分的定数であると仮定します。

KK˜ の厳密な関係は複雑です。ただし、短いサンプル時間 T の場合、次の近似がうまく機能します。

K=0TeFτK˜dτ

伝達関数の状態空間表現

線形モデルの場合、一般的なモデルの記述は次のように指定されます。

y=Gu+He

G は、出力 y に対して入力 u を取得する伝達関数です。H は加法性出力ノイズ モデルのプロパティを記述する伝達関数です。

伝達関数と離散時間状態空間行列と間の関係は、次の方程式で求められます。

G(q)=C(qInxA)1B+DH(q)=C(qInxA)1K+Iny

ここで、Inx は nx 行 nx 列の単位行列、nx は状態の数です。Iny は ny 行 ny 列の単位行列、ny は y および e の次元です。

連続時間の場合の状態空間表現は類似しています。

関連する例

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