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連続時間開ループ モデルのむだ時間近似

この例は、pade を使用して連続時間開ループ システムで遅延を近似する方法を示します。

パデ近似は、むだ時間をサポートしていない解析または設計ツールを使用するときに便利です。

  1. サンプル開ループ システムを出力遅延で作成します。

    s = tf('s');
    P = exp(-2.6*s)/(s^2+0.9*s+1);

    P は、むだ時間のある 2 次伝達関数 (tf) オブジェクトです。

  2. P の 1 次パデ近似を計算します。

    Pnd1 = pade(P,1)
    Pnd1 =
     
                 -s + 0.7692
      ----------------------------------
      s^3 + 1.669 s^2 + 1.692 s + 0.7692
     
    Continuous-time transfer function.
    

    このコマンドは、1 次近似で P のすべてのむだ時間を置き換えます。そのため、Pnd1 は遅延のない 3 次伝達関数になります。

  3. bodeplot を使用して、元のモデルと近似モデルの周波数応答を比較します。

    h = bodeoptions;
    h.PhaseMatching = 'on';
    bodeplot(P,'-b',Pnd1,'-.r',{0.1,10},h)
    legend('Exact delay','First-Order Pade','Location','SouthWest')

    PPnd1 のゲインは正確に一致します。ただし、Pnd1 の位相は、約 1 rad/s を超える P の位相から逸脱します。

  4. パデ近似次数を増やすことで、位相近似が良好である周波数帯域が拡張されます。

    Pnd3 = pade(P,3);
  5. PPnd1、および Pnd3 の周波数応答を比較します。

    bodeplot(P,'-b',Pnd3,'-.r',Pnd1,':k',{0.1 10},h)
    legend('Exact delay','Third-Order Pade','First-Order Pade',...
           'Location','SouthWest')

    位相近似誤差は、3 次パデ近似を使用することで減少します。

  6. stepplot を使用して、元のシステムと近似システム時間領域応答を比較します。

    stepplot(P,'-b',Pnd3,'-.r',Pnd1,':k')
    legend('Exact delay','Third-Order Pade','First-Order Pade',...
           'Location','Southeast')

    パデ近似の使用によって、初期遷移応答での非最小位相部分 (「逆行」現象) が導入されます。効果は 1 次の近似では非常に顕著で、方向を変更する前に大幅に減少してゼロ未満になります。効果は高次の近似では減少し、システムの正確な応答にかなり厳密に一致します。

    メモ

    高すぎる近似次数を使用することは、数値の問題になる可能性があり、不安定な極になる可能性があります。そのため、次数 N>10 のパデ近似は回避します。

参考

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