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連続時間閉ループ モデルのむだ時間近似

この例は、pade を使用して内部遅延のある連続時間閉ループ システムで遅延を近似する方法を示します。

パデ近似は、むだ時間をサポートしていない解析または設計ツールを使用するときに便利です。

  1. サンプル連続時間閉ループ システムを内部遅延付きで作成します。

    閉ループ伝達関数のモデル Tclr から y まで構築します。

    s = tf('s');
    G = (s+1)/(s^2+.68*s+1)*exp(-4.2*s);
    C = pid(0.06,0.15,0.006);
    Tcl = feedback(G*C,1);

    Tcl の内部遅延を調べます。

    Tcl.InternalDelay
    ans = 4.2000
    
  2. Tcl の 1 次パデ近似を計算します。

    Tnd1 = pade(Tcl,1);

    Tnd1 は、遅延のない状態空間 (ss) モデルです。

  3. 元のモデルと近似モデルの周波数応答を比較します。

    h = bodeoptions;
    h.PhaseMatching = 'on';
    bodeplot(Tcl,'-b',Tnd1,'-.r',{.1,10},h);
    legend('Exact delay','First-Order Pade','Location','SouthWest');

    ゲインと位相の近似誤差は、1 rad/s を超えると重大です。

  4. stepplot を使用して Tcl および Tnd1 の時間領域応答を比較します。

    stepplot(Tcl,'-b',Tnd1,'-.r');
    legend('Exact delay','First-Order Pade','Location','SouthEast');

    パデ近似の使用によって、初期遷移応答での非最小位相部分 (「逆行」現象) が導入されます。

  5. パデ近似次数が良好な位相とゲインの近似で周波数を拡張するかどうかを確認するために、パデ近似次数を増やします。

    Tnd3 = pade(Tcl,3);
  6. Tcl の 3 次パデ近似の動作を監視します。TclTnd3 の周波数応答を比較します。

    bodeplot(Tcl,'-b',Tnd3,'-.r',Tnd1,'--k',{.1,10},h);
    legend('Exact delay','Third-Order Pade','First-Order Pade',...
           'Location','SouthWest');

    ゲインと位相の近似誤差は、3 次パデ近似を使用するときに減少します。

パデ近似次数を増やすことで、近似が良好である周波数帯域が拡張されます。ただし、高すぎる近似次数は、数値の問題になる可能性があり、不安定な極になる可能性があります。そのため、次数 N>10 のパデ近似は回避します。

参考

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