離散時間比例-積分-微分 (PID) コントローラー

PID コントローラーオブジェクトタイプ pid、pidstd、pid2 および pidstd2 のすべてで、離散時間の PID コントローラーを表現できます。

離散時間 PID コントローラーの表現

離散時間 PID コントローラーは、次の式で表現されます。

形式	式
並列 (`pid`)	$C = K_{p} + K_{i} I F (z) + \frac{K_{d}}{T_{f} + D F (z)},$ ここで、 K_p = 比例ゲイン K_i = 積分ゲイン K_d = 微分ゲイン T_f = 微分フィルター時間
標準 (`pidstd`)	$C = K_{p} (1 + \frac{1}{T_{i}} I F (z) + \frac{T_{d}}{\frac{T_{d}}{N} + D F (z)}),$ ここで、 K_p = 比例ゲイン T_i = 積分時間 T_d = 微分時間 N = 微分フィルター除数
2-DOF 並列 (`pid2`)	2-DOF コントローラーの出力 (u) とその 2 つの入力 (r および y) との関係は、次のとおりです。 $u = K_{p} (b r - y) + K_{i} I F (z) (r - y) + \frac{K_{d}}{T_{f} + D F (z)} (c r - y)$ この表現では以下のとおりです。 K_p = 比例ゲイン K_i = 積分ゲイン K_d = 微分ゲイン T_f = 微分フィルター時間 b = 比例項での設定点の重み c = 微分項での設定点の重み
2-DOF 標準 (`pidstd2` オブジェクト)	$u = K_{p} [(b r - y) + \frac{1}{T_{i}} I F (z) (r - y) + \frac{T_{d}}{\frac{T_{d}}{N} + D F (z)} (c r - y)]$ この表現では以下のとおりです。 K_p = 比例ゲイン T_i = 積分時間 T_d = 微分時間 N = 微分フィルター除数 b = 比例項での設定点の重み c = 微分項での設定点の重み

これらすべての表現において、IF(z) と DF(z) は、それぞれ積分器フィルターと微分フィルターに用いる離散積分器の式です。コントローラーオブジェクトの IFormula プロパティと DFormula プロパティを使用して、式 IF(z) と式 DF(z) を設定します。次の表は IF(z) と DF(z) で利用可能な式を示します。T_s はサンプル時間です。

IFormula または DFormula IF(z) または DF(z)

`IFormula` または `DFormula`	IF(z) または DF(z)
`ForwardEuler` (既定値)	$\frac{T_{s}}{z - 1}$
`BackwardEuler`	$\frac{T_{s} z}{z - 1}$
`Trapezoidal`	$\frac{T_{s}}{2} \frac{z + 1}{z - 1}$

ForwardEuler (既定値)

$\frac{T_{s}}{z - 1}$

BackwardEuler

$\frac{T_{s} z}{z - 1}$

Trapezoidal

$\frac{T_{s}}{2} \frac{z + 1}{z - 1}$

コントローラーオブジェクトを作成する際、IFormula または DFormula のどちらか、または両方に対して値を指定しない場合は ForwardEuler が既定により使用されます。離散積分器の式の設定および変更についての詳細は、コントローラーオブジェクト pid、pidstd、pid2 および pidstd2 のリファレンスページを参照してください。

離散時間標準形式 PID コントローラーの作成

この例では、K_p = 29.5、T_i = 1.13、T_d = 0.15 N = 2.3、およびサンプル時間 T_s 0.1 のある標準形式離散時間比例-積分-微分 (PID) コントローラーを作成する方法を示します。

C = pidstd(29.5,1.13,0.15,2.3,0.1,...
             'IFormula','Trapezoidal','DFormula','BackwardEuler')

このコマンドは、 $I F (z) = \frac{T_{s}}{2} \frac{z + 1}{z - 1}$ および $D F (z) = \frac{T_{s} z}{z - 1}$ で pidstd モデルを作成します。

pid を使用すると、並列形式コントローラー用の離散積分器の式を同様に設定できます。

標準形式の離散時間 2-DOF PI コントローラー

ライブスクリプトを開く

台形則による離散化式を使用し、離散時間 2-DOF PI コントローラーを標準形式で作成します。式は Name,Value 構文を使用して指定します。

Kp = 1;
Ti = 2.4;
Td = 0;    
N = Inf; 
b = 0.5;   
c = 0;      
Ts = 0.1;
C2 = pidstd2(Kp,Ti,Td,N,b,c,Ts,'IFormula','Trapezoidal')

C2 =
 
                       1     Ts*(z+1)
  u = Kp * [(b*r-y) + ---- * -------- * (r-y)]
                       Ti    2*(z-1) 

  with Kp = 1, Ti = 2.4, b = 0.5, Ts = 0.1
 
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time 2-DOF PI controller in standard form

Td = 0 と設定すると、微分項のない PI コントローラーが指定されます。表示からわかるように、N と c の値はこのコントローラーでは使用されません。表示からは、積分器に台形公式が使用されていることもわかります。

参考

pid | pidstd | pid2 | pidstd2