lyap

連続時間リアプノフ方程式を解く

構文

X = lyap(A,Q)

X = lyap(A,B,C)

X = lyap(A,Q,[],E)

説明

lyap は、特別な、または一般的なリアプノフ方程式を解くために使用します。リアプノフ方程式は、システムの平方根平均二乗 (RMS) 動作の安定性理論や調査など、さまざまな制御領域で使用されます。

X = lyap(A,Q) は、リアプノフ方程式 $$AX+X{A}^T+Q=0$$ の解を返します。ここで、A と Q は同じサイズの正方行列を表します。Q が対称行列の場合、解 X も対称行列になります。

X = lyap(A,B,C) は、Sylvester 方程式 $$AX+XB+C=0$$ の解を返します。ここで、入力 A は m 行 m 列の行列、入力 B は n 行 n 列の行列、C と X はいずれも m 行 n 列の行列です。

X = lyap(A,Q,[],E) は、一般化されたリアプノフ方程式 $$AX{E}^T+EX{A}^T+Q=0$$ を解きます。ここで、Q は対称行列です。この構文には空の大かっこ [] を使用しなければなりません。大かっこの中に値を入れると、関数はエラーを返します。

例

リアプノフ方程式を解く

この例では、リアプノフ方程式を解く方法を示します。

$\mathit{AX}+{\mathit{XA}}^{\mathit{T}}+\mathit{Q}=0$,

ここで、

$\mathit{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& -4\end{array}\right]$ および $\mathit{Q}=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$ です。

$\mathit{A}$ 行列は安定で、$\mathit{Q}$ 行列は正定値です。

行列を定義します。

A = [1 2; -3 -4];  
Q = [3 1; 1 1];

リアプノフ方程式を解くには、lyap 関数を使用します。

X = lyap(A,Q)

X = 2×2

    6.1667   -3.8333
   -3.8333    3.0000

関数は対称行列 $\mathit{X}$ を返します。$\mathit{X}$ が正定値であるかどうかを確認するために、固有値を計算できます。

eig(X)

ans = 2×1

    0.4359
    8.7308

解は正定値です。

Sylvester 方程式を解く

この例では、Sylvester 方程式を解く方法を示します。

$\mathit{AX}+\mathit{XB}+\mathit{C}=0$,

ここで、$\mathit{A}=5$、$\mathit{B}=\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 3\end{array}\right]$、および $\mathit{C}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]$ です。

行列を定義します。

A = 5;
B = [4 3; 3 3];
C = [2 1];

これらの A、B、C の値について、lyap 関数を使用して Sylvester 方程式を解きます。

X = lyap(A,B,C)

X = 1×2

   -0.2063   -0.0476

結果は 1 行 2 列の行列になります。

一般化されたリアプノフ方程式を解く

この例では、一般化されたリアプノフ方程式 ${\mathit{AXE}}^{\mathit{T}}+{\mathit{EXA}}^{\mathit{T}}+\mathit{Q}=0$ を解く方法を示します。

乱数値をもつ行列 $\mathit{A}$ と $\mathit{E}$ を生成します。

rng(0)
A = rand(2)

A = 2×2

    0.8147    0.1270
    0.9058    0.9134

E = randn(2)

E = 2×2

    0.3188   -0.4336
   -1.3077    0.3426

複素数値をもつ対称行列 $\mathit{Q}$ を生成します。

Q = complex(randn(2),randn(2));
Q = Q*Q'

Q = 2×2 complex

  15.6642 + 0.0000i   5.6211 + 4.1271i
   5.6211 - 4.1271i  16.9265 + 0.0000i

一般化されたリアプノフ方程式を解きます。

X = lyap(A,Q,[],E)

X = 2×2 complex

  -2.0000 + 0.0000i  19.6841 - 3.6552i
  19.6841 + 3.6552i  20.9934 + 0.0000i

解 $\mathit{X}$ は 2 行 2 列の対称行列になります。

入力引数

A, Q, B, C, E — 入力行列

行列

入力行列。次のサイズの行列として指定します。

• A、Q、E — m 行 m 列の正方行列

• B — n 行 n 列の行列

• C — m 行 n 列の行列

データ型: single | double | int8 | int16 | int32 | int64 | uint8 | uint16 | uint32 | uint64 | fi
複素数のサポート: あり

出力引数

X — 解

行列

解。行列として返されます。リアプノフ方程式の場合、解 X は m 行 m 列の正方行列です。Sylvester 方程式の場合、解 X は C と同じサイズの行列です。

制限

連続リアプノフ方程式は、A の固有値 $${\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{...},{\alpha }_n$$ および B の固有値 $${\beta }_1,{\beta }_2,\mathrm{...},{\beta }_n$$ がすべてのペア (i,j) について $${\alpha }_i+{\beta }_j\ne 0$$ を満たす場合に一意の解をもちます。

この条件に違反が生じると、lyap はエラー メッセージを生成します。

Solution does not exist or is not unique.

アルゴリズム

lyap はリアプノフ方程式に SLICOT ルーチン SB03MD および SG03AD を、Sylvester 方程式に SB04MD (SLICOT) と ZTRSYL (LAPACK) を使用します。

参照

[1] Bartels, R. H., and G. W. Stewart. “Algorithm 432 [C2]: Solution of the Matrix Equation AX + XB = C [F4].” Communications of the ACM 15, no. 9 (September 1972): 820–26. https://doi.org/10.1145/361573.361582.

[2] Barraud, A. “A Numerical Algorithm to solveA^{T}XA - X = Q.” IEEE Transactions on Automatic Control 22, no. 5 (October 1977): 883–85. https://doi.org/10.1109/TAC.1977.1101604.

[3] Hammarling, S. J. “Numerical Solution of the Stable, Non-Negative Definite Lyapunov Equation Lyapunov Equation.” IMA Journal of Numerical Analysis 2, no. 3 (1982): 303–23. https://doi.org/10.1093/imanum/2.3.303.

[4] Penzl, Thilo. “Numerical Solution of Generalized Lyapunov Equations.” Advances in Computational Mathematics 8, no. 1 (January 1, 1998): 33–48. https://doi.org/10.1023/A:1018979826766.

[5] Golub, G., S. Nash, and C. Van Loan. “A Hessenberg-Schur Method for the Problem AX + XB= C.” IEEE Transactions on Automatic Control 24, no. 6 (December 1979): 909–13. https://doi.org/10.1109/TAC.1979.1102170.

バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

covar | dlyap