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dlyap

離散時間リヤプノフ方程式を解く

構文

X = dlyap(A,Q)
X = dlyap(A,B,C)
X = dlyap(A,Q,[],E)

説明

X = dlyap(A,Q) は、離散時間リヤプノフ方程式 AXAT − X + Q = 0 を解きます。

ここで、A および Q は、n-by-n 行列です。

Q が対称のとき、解 X は対称です。Q が正定で、かつ A の固有値すべてが単位円板に存在するとき、解も正定です。

X = dlyap(A,B,C) は、Sylvester 方程式 AXB – X + C = 0 を解きます。

ここで、A、B および C は対応する次元をもたなければなりませんが、正方である必要はありません。

X = dlyap(A,Q,[],E) は、一般化された離散時間リヤプノフ方程式 AXAT – EXET + Q = 0 を解きます。

ここで、Q は対称行列です。空の大かっこ [] は必須です。この中に値を入れると、関数はエラーを発生します。

診断

離散時間リヤプノフ方程式は、A の固有値 α1, α2, …, αN がすべての (i, j) について αiαj ≠ 1 を満たす場合、(一意の) 解をもちます。

この条件を満たさない場合、関数 dlyap は次のエラー メッセージを生成します。

Solution does not exist or is not unique.

アルゴリズム

関数 dlyap は、リヤプノフ方程式に対しては SLICOT ルーチン SB03MD と SG03AD、Sylvester 方程式に対しては SB04QD (SLICOT) を使用します。

参考文献

[1] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,” IEEE® Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883-885, 1977.

[2] Bartels, R.H. and G.W. Stewart, "Solution of the Matrix Equation AX + XB = C," Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,” IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303-325, 1982.

[4] Higham, N.J., ”FORTRAN codes for estimating the one-norm of a real or complex matrix, with applications to condition estimation,” A.C.M. Trans. Math. Soft., Vol. 14, No. 4, pp. 381-396, 1988.

[5] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,” Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33-48, 1998.

[6] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F. “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,” IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909-913, 1979.

[7] Sima, V. C, “Algorithms for Linear-quadratic Optimization,” Marcel Dekker, Inc., New York, 1996.

参考

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R2006a より前に導入