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care

(非推奨) 連続時間代数リカッチ方程式を解く

care は推奨されません。代わりに icare を使用してください。詳細については、バージョン履歴を参照してください。

構文

[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E)

[X,L,G] = care(A,B,Q)

[X,L,G,report] = care(___)

[X1,X2,D,L] = care(___,'factor')

説明

[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E) は、一般的なリカッチ方程式を解きます。

$$A^{T}XE+E^{T}XA-(E^{T}XB+S)R^{-1}(B^{T}XE+S^T)+Q=0$$

解 X とともに、care はゲイン行列 G と閉ループ固有値のベクトル L を返します。

[X,L,G] = care(A,B,Q) は、連続時間代数リカッチ方程式の一意の解 X を計算します。

$$A^{T}X+XA-XB{B}^{T}X+Q=0$$

[X,L,G,report] = care(___) は、診断レポートも返します。

この構文は、X が存在しない場合、エラー メッセージを出力しません。

[X1,X2,D,L] = care(___,'factor') は、リカッチ方程式の因数分解した解を返します。

例

代数リカッチ方程式の解

この例では、次のリカッチ方程式を解く方法を示します。

$$A^{T}X+XA-XB{R}^{-1}{B}^{T}X+C^{T}C=0$$

以下の場合、

$$A=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 1& 1\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]R=3$$

行列を定義し、方程式を解きます。

a = [-3 2;1 1]
b = [0 ; 1]
c = [1 -1]
r = 3
[x,l,g] = care(a,b,c'*c,r)

x =

    0.5895    1.8216
    1.8216    8.8188


l =

   -1.4370
   -3.5026


g =

    0.6072    2.9396

a と a-b*g の固有値を比較すると、この解が確かに安定であることを確認できます。

[eig(a)   eig(a-b*g)]

ans =
   -3.4495   -3.5026
    1.4495   -1.4370

最後に、変数 l が、閉ループ固有値 eig(a-b*g) を格納することに注意してください。

H∞ のようなリカッチ方程式の解

この例では、$$H_{\infty }$$ のようなリカッチ方程式を解く方法を示します。

$$A^{T}X+XA+X({\gamma }^{-2}{B}_1{B}_1^T-B_2{B}_2^T)X+C^{T}C=0$$

この方程式は、次のように care でサポートされる形式に書き換えることができます。

$$A^{T}X+XA-X\underset{B}{\underbrace{[B_1,B_2]}}{\underset{R}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}-{\gamma }^{2}I& 0\\ 0& I\end{array}\right]}}}^{-1}\left[\begin{array}{c}{B}_1^T\\ B_2^T\end{array}\right]X+C^{T}C=0$$

これで、与えられた任意の入力行列について、次のようにして安定化解 $$X$$ を計算できるようになります。

B = [B1 , B2]
m1 = size(B1,2)
m2 = size(B2,2)
R = [-g^2*eye(m1) zeros(m1,m2) ; zeros(m2,m1) eye(m2)]

X = care(A,B,C'*C,R)

入力引数

A, B, Q, R, S, E — 入力行列

行列

入力行列。行列として指定します。R、S、および E を省略すると、関数は既定値の R = I、S = 0、および E = I を使用します。

出力引数

X — リカッチ方程式の解

行列

連続時間代数リカッチ方程式の解。行列として返されます。

関連するハミルトニアン行列が虚軸上に固有値をもつ場合、care は X に [] を返します。

L — 閉ループ固有値

ベクトル

閉ループ固有値。行列として返されます。

閉ループ固有値 L は次のように計算されます。

L=eig(A-B*G,E)

G — 状態フィードバック ゲイン

行列

状態フィードバック ゲイン。行列として返されます。

状態フィードバック ゲイン G は次のように計算されます。

$$G=R^{-1}(B^{T}XE+S^T)$$

関連するハミルトニアン行列が虚軸上に固有値をもつ場合、care は G に [] を返します。

report — 診断レポート

スカラー

診断レポート。次のいずれかの値をもつスカラーとして返されます。

• 関連するハミルトニアン ペンシルが虚軸上またはその近傍に固有値をもつ場合は -1 (失敗)。

• 有限の安定化解 X が存在しない場合は -2。

• X が存在しかつ有限である場合には、相対残差のフロベニウス ノルム

X1, X2, D — 因数分解した解

行列

因数分解した解の行列。行列として返されます。関数は、X₁ および X₂ と、X = D(X₁/X₂)D であるような対角のスケーリング行列 D を返します。

関連するハミルトニアン行列が虚軸上に固有値をもつ場合、care は X1、X2、および D を空として返します。

制限

$$(A,B)$$ のペアは可安定 (つまり、不安定なモードがすべて制御可能) でなければなりません。さらに、関連付けられたハミルトニアン行列またはハミルトニアン ペンシルは、虚軸上に固有値をもつことはできません。これが成立するための十分条件は、$$S=0$$ かつ$$R>0$$ の場合に $$(Q,A)$$ が検出可能であるか、次が成り立つ場合です。

$$\left[\begin{array}{cc}Q& S\\ S^T& R\end{array}\right]>0$$

アルゴリズム

関数 care は、[1] に記述されているアルゴリズムを実装しています。R が良い条件 (well-conditioned) であり、かつ $$E=I$$ であれば、これはハミルトニアン行列に対して有効です。それ以外の場合は、拡張されたハミルトニアン ペンシルと QZ アルゴリズムを使用します。

参照

[1] Arnold, W.F., and A.J. Laub. “Generalized Eigenproblem Algorithms and Software for Algebraic Riccati Equations.” Proceedings of the IEEE 72, no. 12 (1984): 1746–54. https://doi.org/10.1109/PROC.1984.13083.

バージョン履歴

R2006a より前に導入

R2019a: care は非推奨

R2019a からは、icare コマンドを使用して連続時間リカッチ方程式を解きます。このアプローチでは、優れたスケーリングによって精度が向上し、care と比べて R が悪条件の場合に K の計算がより正確になります。さらに、icare には、リカッチ方程式の陰的な解のデータを収集する、オプションの info 構造体が含まれます。

次の表に、care の一般的な用法と、代わりに icare を使用するためにコードを更新する方法を示します。

非推奨	推奨
[X,L,G] = care(A,B,Q,R,S,E)	[X,K,L] = icare(A,B,Q,R,S,E,G) は、連続時間代数リカッチ方程式の安定化解 X、状態フィードバック ゲイン K、および閉ループ固有値 L を計算します。詳細については、icare を参照してください。
[X,L,G,report] = care(A,B,Q,R,S,E)	[X,K,L,info] = icare(A,B,Q,R,S,E,G) は、連続時間代数リカッチ方程式の安定化解 X、状態フィードバック ゲイン K、閉ループ固有値 L を計算します。info 構造体には陰的な解のデータが含まれます。詳細については、icare を参照してください。

現時点で care を削除する予定はありません。

参考

icare