ElGamal 公開鍵暗号システム

ガロア体配列の関数 gf を使用して、ElGamal 公開鍵暗号システムを実装します。

キーの生成

多項式の次数 m を定義します。

m = 15;
q = 2^m;

原始多項式とグループ発生器を求めます。乱数発生器のシードを設定します。g がプリミティブであることを確認しますが、シードが 123456 の場合、最初に選択された g がプリミティブです。

poly = primpoly(m);

 
Primitive polynomial(s) = 
 
D^15+D^1+1

primeFactors = unique(factor(2^m-1));
rng(123456); % for this seed, first g selected is primitive
g   = gf(randi(q-1), m, poly)

 
g = GF(2^15) array. Primitive polynomial = D^15+D+1 (32771 decimal)
 
Array elements = 
 
   4161

while ~isprimitive(minpol(g))
    g   = gf(randi(q-1), m, poly)
end

秘密鍵と公開鍵を構築します。

privateKey = 12;
publicKey = {g,g^privateKey,poly};

暗号化

元のメッセージを作成して表示します。

text = ['The Fourier transform decomposes a function of time (a signal)' newline ...
    'into the frequencies that make it up, in a way similar to how a' newline ...
    'musical chord can be expressed as the amplitude (or loudness) of' newline ...
    'its constituent notes.'];
disp(text);

The Fourier transform decomposes a function of time (a signal)
into the frequencies that make it up, in a way similar to how a
musical chord can be expressed as the amplitude (or loudness) of
its constituent notes.

メッセージをバイナリに変換して、m ビットごとにグループ化します。メッセージは ASCII 文字を使用します。ASCII テーブルは 128 文字であるため、1 文字あたり 7 ビットで十分です。

bitsPerChar = 7;
binMsg = int2bit(int8(text'),bitsPerChar);
numPaddedBits = m - mod(numel(binMsg),m);
if numPaddedBits == m
    numPaddedBits = 0;
end
binMsg = [binMsg; zeros(numPaddedBits,1)];
textToEncrypt = bit2int(binMsg,m);

元のメッセージを暗号化します。

cipherText = gf(zeros(length(textToEncrypt),2),m,poly);

for i = 1:length(textToEncrypt)
    k = randi([1 2^m-2]);
    cipherText(i,:) = [publicKey{1}^k, ...
        gf(textToEncrypt(i),m,poly)*publicKey{2}^k];
end

暗号化されたメッセージを表示します。

tmp = cipherText.x;
disp(de2char(tmp(:,2),bitsPerChar,m));

vTchba~*TzEC> *o_c;a5
vS>Do7]{B#wDc0`YCDVxV]:FC0|o|	],7
S)d/uW
]A=]T	sKX+q3K&q ex_>f=C_gZ"*slX=N&$~*[Xh+R[<5:(NpO6 
8+@/)9sBm	&is#Z<DN`Qo~?GaOFIzYA~a+Lygzv?l

復号化

暗号化された元のメッセージを復号化します。

decipherText = gf(zeros(size(cipherText,1),1),m,poly);
for i = 1:size(cipherText,1)
    decipherText(i) = cipherText(i,2) * cipherText(i,1)^(-privateKey);
end

復号化されたメッセージを表示します。

disp(de2char(decipherText.x,bitsPerChar,m));

The Fourier transform decomposes a function of time (a signal)
into the frequencies that make it up, in a way similar to how a
musical chord can be expressed as the amplitude (or loudness) of
its constituent notes.

サポート関数

de2char はビットを char メッセージに変換します。

function text = de2char(msg,bitsPerChar,m)
binDecipherText = int2bit(msg,m);
text = char(bit2int(binDecipherText(1:end-mod(numel(binDecipherText), ...
    bitsPerChar)),bitsPerChar))';
end

参考

関数

• gf | reshape

トピック

• 誤りの検出と訂正