画像処理と古代美術で幾何学の歴史を塗り替える

パパオディセウス氏は考古学的な問題を解決するために情報科学と MATLAB^® を使用してきた経歴があります。同氏は最初、アテネのアメリカ古典学院の学長であった著名な考古学者スティーブン・トレイシー教授と協力して、碑文を「リチオクス」、いわゆる碑文を刻んだ作家を基に分類しました。リチオクソスは作品に日付や署名を記していなかったため、碑文の時代分類は事実上不可能であったことを考えると、このような分類は歴史上根本的に重要なことです。しかし、リチオクソスの全作品が集められた場合、これらを注意深く調べることで、原則的には年代を特定することができます。こうしてパパオディセウス氏は MATLAB と数学を使って、9 人の作家による 30 の碑文の分類に 100% 成功しました。

「現代の数学と情報科学、そして MATLAB があれば、これを実現できると思いました」とパパオディセウス氏は言います。同氏と彼のチームは、古典学のクリストファー・ブラックウェル教授とともに、両方の文書が同じ筆跡で書かれていることを証明しました。ギリシャ議会は、歴史家によって発掘された他の文書の筆者を特定するために、彼の調査能力を活用しています。

「MATLAB を使用すると、考古学者が古代遺物のより完全で正確な歴史を形成するのに役立ちます」とパパオディセウス氏は述べています。

このフレスコ画の物語は、地中海のエーゲ海に浮かぶギリシャの島、サントリーニ島南西部の町アクロティリの地下から始まります。ミノア文明の時代、紀元前1620年頃、大規模な火山噴火により、島は厚さ20メートルにも及ぶ軽石と灰の層に埋もれました。これにより、火山岩が何千年もの間保存してきた豊富な遺物の宝庫が誕生しました。発掘された発見物の中には、精巧な壁画やフレスコ画の粉々になった残骸もありました。

1990 年代後半、パパオディセウス氏は MATLAB を使用して古代のフレスコ画を分析し、数百点もの壁画の断片をつなぎ合わせる手法の開発に着手しました。それには 2D や 3D による再構成も含まれます。ある夜、コンピューターでフレスコ画の断片を繋ぎ合わせようとしていたとき、不意にモニターに映し出されたものに目が留まりました。それは、彼が別のフレスコ画「クロッカスの集い」で見た少女の絵でした。このフレスコ画では少女が植物に寄りかかっているのですが、パパオディセウス氏はその最新の画像が画面に表示されたとき、彼女の背中の曲線が双曲線のように見えることに気づいたのです。

困ったことが一つありました。双曲線や円錐曲線等に関する最初の記述は、紀元前 350 年から 250 年代に活躍したメナエクモスやエウクレイデスなどの古典派時代の著名な思想家によるもので、フレスコ画の制作から 1,300 年以上も後のことです。その思い付きは、かなり「常軌を逸していた」と、パパオディセウス氏は後に語っています。

パパオディセウス氏は、この「双曲線の背中」が自分をどこへ連れて行ってくれるのかを見てみたかったのです。運命的な発見の後、パパオディセウス氏は数か月かけて、MATLAB で自分の仮説を検証する手法を編み出しました。彼は、画像の個々の輪郭を単一ピクセルの連鎖で分離できる画像セグメンテーション アルゴリズムを開発しました。輪郭は途切れることなく均一な曲線または線であるため、特定の絵画は多数の個別の輪郭で構成されます。

「私たちは、自然界に現れる形、あるいはアルキメデスやユークリッドといった古典時代の偉大な数学者の時代以降に初めて理解され、広範囲に研究されてきた形を扱ってきました」とパパオディセウス氏は言います。「当時、ユークリッドやアルキメデスの祖先であるミノア人がこれらの図形を理解したり、扱ったりしていたとは信じられませんでした。」

直感的に、この古代の人々がガイドやステンシルを使用して形状を描いたという考えは理にかなっています。当時、壁に絵を描く芸術家は、乾く前に湿った漆喰の部分を完成させるために、正確さとスピードが必要だったはずです。完成した絵画の滑らかで安定した輪郭を考えると、画家たちがこの粗い表面に絵を描くために何らかのガイドを使用した可能性が高いと考えられます。

パパオディセウス氏と彼のチームは、「クロッカスの集い」の少女の背中の湾曲したイメージを使用して、さまざまなパラメーターで曲線をプロットし、MATLAB とその関数最小化アルゴリズムを使用して、描かれた輪郭を潜在的なステンシル形状と識別して比較できるアルゴリズム スキームを適用しました。

「MATLAB で双曲線をプロットするのは簡単です。Image Processing Toolbox™の 2 つの関数を使用すると、画像に双曲線を重ね合わせることができます」と、パパオディセウス氏のチームの研究者であるアタナシオス ラファイル ママシス氏は述べています。

これらの機能を「クロッカスの集い」の少女のイメージに当てはめると、彼女の湾曲した背中は真の双曲線に沿っており、他の形状やステンシルとは一致しなかったことが確認できました (図 1 を参照)。さらなる証拠として、彼が同じフレスコ画の別の少女にこの手法を試したところ、同じ双曲線に対応する輪郭が見つかりました (図 2 を参照)。

年月が経つにつれ、当初のプロジェクトに取り組んでいた博士課程の学生たちが同僚となり、そのチームがパパオディセウス氏のオリジナルのアルゴリズムを繰り返し改良して、新しいアイデアを探求しました。「特に、双曲線を発見した後、私たちはミノア人がフレスコ画に線状の螺旋を使用していたかどうかを検証することに迷いはありませんでした」とパパオディセウス氏は言います。

彼らが最初に試みたのは、単純な形状、つまり自然界によく見られる螺旋形を検証することでした。分析の第一の候補は、巻貝に見られる非常に正確で指数関数的な螺旋と、弦楽器のペグに巻きつけた弦をほどく時にできる螺旋でした。芸術家たちが、アルキメデスの螺旋としても知られる、構築するのがより難しい直線螺旋に偶然出会う可能性は低かったようです。しかし、比較してみると、フレスコ画を飾る渦巻きは、実際には奇妙な螺旋であることがわかりました (図 3 を参照)。

パパオディセウス氏のグループは、さらに多くの壁画を分析した結果、画像の輪郭に一致する特定のステンシル 6 つ (双曲線 4 つと線状螺旋 2 つ) を一貫して発見しました。フレスコ画を調べたところ、画家たちがガイドをピンで留めたと思われる石膏の小さな穴も発見されました。さらに、青銅器時代の人々がステンシルを使用していたという考えを裏付ける証拠として、壁画の輪郭は、コンピューターで生成されたガイドと通常 0.3 ミリメートル未満しか違わず、0.8 ミリメートルを超えることはありませんでした。「これによりランダム性が排除されます」とパパオディセウス氏は言います。特にステンシルの長さが 14 cm、15 cm、17 cm、22 cm などを超える場合、このような近い一致は偶然である可能性は低いです。

芸術家、あるいは少なくともステンシル製作者が高度な幾何学的理解を持っていたことを示すさらなる証拠は、彼らが双曲線や螺旋のステンシルを作成した可能性のある方法から得られます。双曲線を考えてみましょう。それは単に湾曲した背中の形に偶然一致する曲線ではありません。曲線上のすべての点は、同じ平面上の2つの固定点から一定の距離の差があります。これらは現在「焦点」と呼ばれているものです。研究者らは、アーティストが、それぞれの中心点が明確に定義された半径の異なる2つの円を描き、不均一なベン図のように円が部分的に重なるようにすることで、このような曲線を構築した可能性があることを示唆しています。元の 2 つの円の周りに同心円を描き、そのたびに両方の円の半径を同じ量ずつ増やしていくと、対応する各円の交点を結ぶことで双曲線を描くことができます (図 5 を参照)。

研究者たちは、直線状の螺旋についても、芸術家たちは同心円を使用することもできたのではないかと考えています。チームのこれまでの研究により、アクロティリの青銅器時代の住民は正多角形の列の中心角を構成することができたことが示されました。多角形の対応する直線が同心円と交差する点を結ぶことによって、線形螺旋を描くことができます (図 6 を参照)。

パパオディセウス氏と彼のチームは、この研究を行ってきた 20 年以上の期間にわたり、常に MATLAB を使用してきました。「私は多くのプログラミング言語を知っていますが、MATLAB は他の何物にも代えがたい」とパパオディセウス氏は言います。C/C++ で記述する必要があるタスクの場合、MATLAB からコードを呼び出して即座に結果を受け取ります。MATLAB ラッピングが利用できない場合、同じタスクに 3 倍の時間がかかるだろうと彼は言います。計算環境の使いやすさ、効率性、品質は不可欠です。「記述しなくてはならないコードの行数が少なくて済む上に、結果が驚くほど鮮明です。」

こうした印象的なフレスコ画があるのはサントリーニ島だけではありません。前述のように、かつてクノッソス宮殿の壁を飾っていたが現在は博物館に所蔵されている図 4 のフレスコ画では、男性が逆さまに雄牛に乗り、その両側で 2 人の女性が助ける準備をしています。パパオディセウス氏のグループは、クレタ島で発見されたこの絵画を分析した際、雄牛の背中が、チームが以前にサントリーニ島のフレスコ画で見た双曲線と独特な形で一致していること、また、このフレスコ画の他のさまざまな輪郭部分が、ティラ島のアクロティリで発見された双曲線や螺旋部分の対応する部分に最適にフィットしていることに気付きました。