バンバン制御で二点境界値問題を解く方法について

matlab上でバンバン制御を解く方法について悩んでいます。

やりたいこと

ある物体がx軸上を次のように動くとする。t=0の時、物体の位置x=0、速度v=0

制御を終了する時間をtfとして、t=tfの時、x=xf、v=0となるような運動を、最短時間で行うような制御を考えています。

ただし、加速度aに関しては制限があり、-amax<a<amaxの範囲で加減速するとします。

状態方程式は、

(uは加速度) 離散時間系にした時の状態方程式は Tをサンプリングタイムとして、

となります。 目的関数(最小としたいもの)は

となります。 fminconを用いて解き、サンプリングタイムTごとのx,v,aの情報を配列として入手したいと考えています。 今、このプログラムを作成しているのですが、fminconではx(tf)=xfの情報をプログラムのどこに記せば良いのかで悩んでいます。 お願いいたします。

Answer 1

[Tohru Kikawada]

バンバン制御は こちら のようにフィードバック制御で構成されるケースが多いかと思います。

最適化問題として最適な入力系列を計算させる場合、最適化変数が離散値になりますので勾配を使う fmincon では解けない場合があります。

また、混合整数線形計画法 (MILP)を取り扱える intlinprog も目的関数が非線形の場合には使えません。

整数制約の非線形最適化問題を解く一番簡単な方法はGlobal Optimization Toolboxの遺伝的アルゴリズム ga を使うことです。

簡単な例を下記に示します。

この例では x(tf)=xf の制約自体を目的関数に入れています。

x(tf)=xf のような非線形制約を記述したい場合には こちら のように関数の形で記述していただく必要があるかと思います。

少しでもご参考になれば幸いです。

%%バンバン制御の入力信号の最適化

% 乱数のシードを定義(再現性のため)
rng(4,'twister')

% 目標値
xf = [20; 0];
amax = 1;

% 目的関数
fun = @(x) (costFunc(x,xf));

% 初期値
x0 = zeros(100,1);

% (0,1)の範囲に限定
lb = zeros(100,1);
ub = ones(100,1);

% 遺伝的アルゴリズムを使って整数制約の非線形最適化問題を解く
opt = optimoptions('ga','PlotFcn',@gaplotbestf,...
    'MaxGenerations',50,'MaxStallGenerations',50);

[xga,fval,exitflag,output] = ga(@(x)costFunc(x,xf,amax),100,[],[],[],[],lb,ub,[], ...
   1:100,opt);

% 時系列の再計算と可視化
[~,xlog] = costFunc(xga,xf,amax);
figure, subplot(211), plot((2*xga-1)*amax);
title('入力信号 u');
subplot(212), plot(xlog);
hold on; plot(xf(1)*ones(100,1));
title('状態変数 x');
legend('位置','速度','位置の目標値');

costFunc.m:

function [J,x_log] = costFunc(u,xf,amax)
    J = 0;
    tf = 1;
    A = [1 1; 0 1];
    B = [0; 1];
    x = [0; 0];
    x_log = zeros(numel(u),2);
    while tf <= 100
        x = A*x + B*(round(u(tf))*2-1)*amax;
        x_log(tf,:) = x;
        tf = tf + 1;
        J = J + abs(x(1)-xf(1));
    end
end

実行結果: