symprod

級数の積

構文

F = symprod(f,k,a,b)

F = symprod(f,k)

説明

F = symprod(f,k,a,b) は、式 f が指定する項をもつ級数の積を返します。この式は、シンボリック変数 k に依存します。値 k の範囲は a ～ b です。k を指定しない場合、symprod は symvar によって決定される変数を使用します。f が定数の場合、既定の変数は x です。

F = symprod(f,k) は、式 f で指定される級数の積を返します。この式は、シンボリック変数 k に依存します。k の値は、1 から始まり、上限の指定はありません。積 F は k に関して返されます。ここで、k は上限を表します。この積 F は、不定乗積とは異なります。k を指定しない場合、symprod は symvar によって決定される変数を使用します。f が定数の場合、既定の変数は x です。

例

範囲を指定した級数の積の計算

次の級数の積を求めます。

$$\begin{array}{l}P1={\displaystyle \prod _{k=2}^{\infty }1-\frac{1}{k^2}},\\ P2={\displaystyle \prod _{k=2}^{\infty }\frac{k^2}{k^2-1}}.\end{array}$$

syms k
P1 = symprod(1 - 1/k^2, k, 2, Inf)
P2 = symprod(k^2/(k^2 - 1), k, 2, Inf)

P1 =
1/2
P2 =
2

または、範囲を行ベクトルまたは列ベクトルとして指定します。

syms k
P1 = symprod(1 - 1/k^2, k, [2 Inf])
P2 = symprod(k^2/(k^2 - 1), k, [2; Inf])

P1 =
1/2
P2 =
2

積のインデックスと範囲を指定した級数の積の計算

次の級数の積を求めます。

$$P={\displaystyle \prod _{k=1}^{10000}\frac{e^{kx}}{x}}.$$

syms k x
P = symprod(exp(k*x)/x, k, 1, 10000)

P =
exp(50005000*x)/x^10000

範囲を指定しない級数の積の計算

級数の範囲を指定しない場合、変数 k は 1 から始まります。返された式で、k 自体が上限を表します。

上限を指定せずに級数の積を求めます。

$$\begin{array}{l}P1={\displaystyle \prod _{k}k},\\ P2={\displaystyle \prod _k\frac{2k-1}{k^2}}.\end{array}$$

syms k
P1 = symprod(k, k)
P2 = symprod((2*k - 1)/k^2, k)

P1 =
factorial(k)
P2 =
(1/2^(2*k)*2^(k + 1)*factorial(2*k))/(2*factorial(k)^3)

入力引数

f — 級数の項を定義する式

シンボリック式 | シンボリック関数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック数

級数の項を定義する式。シンボリック式、関数、定数、あるいはシンボリック式、関数、定数のベクトルまたは行列として指定します。

k — 積のインデックス

シンボリック変数

積のインデックス。シンボリック変数として指定します。この変数を指定しない場合、symprod では symvar(expr,1) によって決定される既定の変数が使用されます。f が定数の場合、既定の変数は x です。

a — 積のインデックスの下限

数値 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数

積のインデックスの下限。数値、シンボリック数、変数、式または関数 (無限大を含む式および関数を含む) で指定します。

b — 積のインデックスの上限

数値 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック式 | シンボリック関数

積のインデックスの上限。数値、シンボリック数、変数、式または関数 (無限大を含む式および関数を含む) で指定します。

詳細

定乗積

級数の積は次のように定義されます。

$${\displaystyle \prod _{i=a}^b{x}_i}=x_a\cdot x_{a+1}\cdot \dots \cdot x_b$$

不定乗積

i に対する x_i の不定乗積は次のとおりです。

$$f(i)={\displaystyle \prod _i{x}_i}$$

この定義は、次の恒等式が任意の i の値について真であるという仮定のもとで成り立ちます。

$$\frac{f\left(i+1\right)}{f\left(i\right)}=x_i$$

メモ

symprod では不定乗積は計算されません。

バージョン履歴

R2011b で導入

参考

cumprod | cumsum | int | syms | symsum | symvar