root

多項式の根の表現

構文

r = root(p,x)

r = root(p,x,k)

説明

r = root(p,x) は、x について、シンボリック多項式 p の番号付けされた根の列ベクトルを返します。高次多項式の根をシンボリックに解くと複雑になり、また、すべての多項式が解析的に解けるわけではありません。この場合、Symbolic Math Toolbox™ では関数 root を使用して多項式の根を表します。

r = root(p,x,k) は、x について、シンボリック多項式 p の k 番目の根を表します。

例

高次多項式の根の表現

多項式 ${\mathit{x}}^3+1$ の根を root を使用して表します。関数 root は列ベクトルを返します。このベクトルの要素は、多項式の 3 つの根を表します。

syms x
p = x^3 + 1;
root(p,x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{root}\left(x^3+1,x,1\right)\\ \mathrm{root}\left(x^3+1,x,2\right)\\ \mathrm{root}\left(x^3+1,x,3\right)\end{array}\right)$$

$\mathrm{root}\left({\mathit{x}}^3+1,\mathit{x},1\right)$ は p の 1 番目の根を表し、$\mathrm{root}\left({\mathit{x}}^3+1,\mathit{x},2\right)$ は 2 番目の根を表します。以下同様に続きます。この構文を使用して、高次多項式の根を表します。

2 次多項式の根を求める

2 次多項式 $$x^2-x-1$$ の根を求めます。関数 root を使用してこれらの根を表します。

syms x
p = x^2 - x - 1;
r = root(p,x)

r = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{root}\left(x^2-x-1,x,1\right)\\ \mathrm{root}\left(x^2-x-1,x,2\right)\end{array}\right)$$

これらの根を高精度浮動小数点数に変換するには、vpa を使用します。

rVpa = vpa(r)

rVpa = 
$$\left(\begin{array}{c}-0.61803398874989484820458683436564\\ 1.6180339887498948482045868343656\end{array}\right)$$

高次多項式の根の計算

高次多項式を解く場合、solve は root を使用して根を表します。あるいは、MaxDegree オプションを使用して明示的な解を返したり、vpa を使用して数値結果を返したりもできます。

x^3 + 3*x - 16 の根を求めます。

syms x
p = x^3 + 3*x - 16;
R = solve(p,x)

R = 
$$\left(\begin{array}{c}\mathrm{root}\left(z^3+3\hspace{0.17em}z-16,z,1\right)\\ \mathrm{root}\left(z^3+3\hspace{0.17em}z-16,z,2\right)\\ \mathrm{root}\left(z^3+3\hspace{0.17em}z-16,z,3\right)\end{array}\right)$$

MaxDegree オプションに多項式の次数を設定して、明示的に根を求めます。4 より大きい次数の多項式は明示的な解をもちません。

Rexplicit = solve(p,x,"MaxDegree",3)

Rexplicit = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}{\sigma }_1-\frac{1}{{\sigma }_1}\\ \frac{1}{2\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{{\sigma }_1}+{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\\ \frac{1}{2\hspace{0.17em}{\sigma }_1}-\frac{{\sigma }_1}{2}+\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{{\sigma }_1}+{\sigma }_1\right)\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1={\left(\sqrt{65}+8\right)}^{1/3}\end{array}$$

vpa を使用して R を高精度浮動小数点に変換し、根を数値的に求めます。

Rnumeric = vpa(R)

Rnumeric = 
$$\left(\begin{array}{c}2.1267693318103912337456401562601\\ -1.0633846659051956168728200781301-2.5283118563671914055545884653776\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -1.0633846659051956168728200781301+2.5283118563671914055545884653776\hspace{0.17em}\mathrm{i}\end{array}\right)$$

root の呼び出しにパラメーターが含まれる場合は、subs を使用してパラメーターに数値を代入してから vpa を呼び出します。

シンボリック計算における root の使用

関数 root は、simplify、subs、diff などの Symbolic Math Toolbox 関数への入力として使用できます。

root を含む式を関数 simplify を使用して単純化します。

syms x
r = root(x^6 + x, x, 1);
simplify(sin(r)^2 + cos(r)^2)

ans = $$1$$

subs を使用して root 内のパラメーターに数値を代入します。

syms b
subs(root(x^2 + b*x, x, 1), b, 5)

ans = $$\mathrm{root}\left(x^2+5\hspace{0.17em}x,x,1\right)$$

vpa を使用して root を数値形式に変換する前に、subs を使用したパラメーターへの代入が必要です。

diff を使用して root を含む式をパラメーターについて微分します。

diff(root(x^2 + b*x, x, 1), b)

ans = 
$$\frac{\mathrm{root}\left(x^2+b\hspace{0.17em}x,x,1\right)}{b}$$

多項式の比率の逆ラプラス変換の計算

ilaplace を使用して 2 つの多項式の比率の逆ラプラス変換を求めます。逆ラプラス変換は root に関して返されます。

syms s
G = (s^3 + 1)/(s^6 + s^5 + s^2);
H = ilaplace(G)

H = 
$$t-\left({\sum }_{k=1}^4\frac{{\mathrm{e}}^{t\hspace{0.17em}\mathrm{root}\left(z^4+z^3+1,z,k\right)}}{4\hspace{0.17em}\mathrm{root}\left(z^4+z^3+1,z,k\right)+3}\right)$$

関数 root が出力で得られる場合、この後のシンボリック計算で関数 root を入力として使用できます。しかし、数値結果が求められる場合は、vpa を使用して、関数 root を高精度の数値結果に変換します。

vpa を使用して逆ラプラス変換を数値形式に変換します。

H_vpa = simplify(vpa(H))

H_vpa = $$t+0.30881178580997278695808136329347\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-1.0189127943851558447865795886366\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\cos \left(0.60256541999859902604398442197193\hspace{0.17em}t\right)-0.30881178580997278695808136329347\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{0.5189127943851558447865795886366\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\cos \left(0.666609844932018579153758800733\hspace{0.17em}t\right)-0.6919689479355443779463355813596\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-1.0189127943851558447865795886366\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\sin \left(0.60256541999859902604398442197193\hspace{0.17em}t\right)-0.16223098826244593894459034019473\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{0.5189127943851558447865795886366\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\sin \left(0.666609844932018579153758800733\hspace{0.17em}t\right)$$

入力引数

p — シンボリック多項式

シンボリック式

シンボリック多項式。シンボリック式として指定します。

x — 変数

シンボリック変数

変数。シンボリック変数として指定します。

k — 多項式の根の番号

数値 | ベクトル | 行列 | 多次元配列 | シンボリック数 | シンボリック ベクトル | シンボリック行列 | シンボリック多次元配列

多項式の根の番号。数値、ベクトル、行列、多次元配列、あるいはシンボリック数、ベクトル、行列、関数または多次元配列として指定します。k が非スカラーの場合、root は k の要素単位で動作します。

例: root(f,x,3) は、f の 3 番目の根を表します。

ヒント

• vpa を使用して可変精度のシンボリック数を返すことにより、関数 root を含むシンボリック式を数値的に近似することができます。R2023a 以降では、matlabFunction を使用することで、式を Symbolic Math Toolbox なしで使用できる MATLAB^® 関数に変換できます。生成されたファイルは、数値 double データ型で演算を行う関数 roots を使用します。

バージョン履歴

R2015b で導入

参考

solve | vpa | rewrite