ellipj

ヤコビ楕円関数

構文

[SN,CN,DN] = ellipj(u,m)

説明

[SN,CN,DN] = ellipj(u,m) は u と m の対応要素に関して評価されたヤコビ楕円関数 sn、cn、および dn を返します。入力 u と m は同じサイズであるか、u または m のいずれかがスカラーでなければなりません。

例

ヤコビ楕円関数の計算

u = 0.75 および m = 0.5 であるヤコビ楕円関数を計算します。これらの数値はシンボリック オブジェクトではないため、結果は浮動小数点数となります。

[SN,CN,DN] = ellipj(0.75,0.5)

SN = 
0.6585

CN = 
0.7526

DN = 
0.8850

同じ数値をシンボリック オブジェクトに変換してヤコビ楕円関数を計算します。ほとんどのシンボリックな (正確な) 数値に対し、ellipj は関数 jacobiSN、jacobiCN、および jacobiDN を使用して結果を返します。

[SN,CN,DN] = ellipj(sym(3/4),sym(1/2))

SN = 
$$\mathrm{sn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiSN">jacobiSN</a>}\left(\frac{3}{4}|\frac{1}{2}\right)$$

CN = 
$$\mathrm{cn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiCN">jacobiCN</a>}\left(\frac{3}{4}|\frac{1}{2}\right)$$

DN = 
$$\mathrm{dn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiDN">jacobiDN</a>}\left(\frac{3}{4}|\frac{1}{2}\right)$$

vpa を使用して、シンボリックな結果を浮動小数点数で近似します。

vpa([SN,CN,DN],10)

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}0.6585147441& 0.7525678254& 0.8849741046\end{array}\right)$$

m が 0 と 1 の間にない場合のヤコビ楕円関数の計算

引数 m が [0 1] の範囲にない場合、ellipj を使用する前にその引数をシンボリック オブジェクトに変換します。

[SN,CN,DN] = ellipj(1,sym(pi/2))

SN = 
$$\mathrm{sn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiSN">jacobiSN</a>}\left(1|\frac{\pi }{2}\right)$$

CN = 
$$\mathrm{cn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiCN">jacobiCN</a>}\left(1|\frac{\pi }{2}\right)$$

DN = 
$$\mathrm{dn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiDN">jacobiDN</a>}\left(1|\frac{\pi }{2}\right)$$

あるいは、jacobiSN、jacobiCN、および jacobiDN を使用して、ヤコビ楕円関数を個別に計算します。

SN = jacobiSN(1,sym(pi/2))

SN = 
$$\mathrm{sn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiSN">jacobiSN</a>}\left(1|\frac{\pi }{2}\right)$$

CN = jacobiCN(1,sym(pi/2))

CN = 
$$\mathrm{cn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiCN">jacobiCN</a>}\left(1|\frac{\pi }{2}\right)$$

DN = jacobiDN(1,sym(pi/2))

DN = 
$$\mathrm{dn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiDN">jacobiDN</a>}\left(1|\frac{\pi }{2}\right)$$

行列入力に対するヤコビ楕円関数の計算

シンボリック行列入力に対して ellipj を呼び出します。入力引数が同じサイズの行列の場合、ellipj は各要素についてヤコビ楕円関数を計算します。

[SN,CN,DN] = ellipj(sym([-1 0; 1 1/2]),sym([1 pi/2; -1 0]))

SN = 
$$\left(\begin{array}{cc}-\tanh \left(1\right)& 0\\ \mathrm{sn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiSN">jacobiSN</a>}\left(1|-1\right)& \sin \left(\frac{1}{2}\right)\end{array}\right)$$

CN = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\cosh \left(1\right)}& 1\\ \mathrm{cn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiCN">jacobiCN</a>}\left(1|-1\right)& \cos \left(\frac{1}{2}\right)\end{array}\right)$$

DN = 
$$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\cosh \left(1\right)}& 1\\ \mathrm{dn}\text{<a href="matlab:doc symbolic/jacobiDN">jacobiDN</a>}\left(1|-1\right)& 1\end{array}\right)$$

入力引数

u — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

m — 入力

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック変数 | シンボリック配列 | シンボリック関数 | シンボリック式

入力。数値、ベクトル、行列、または配列、あるいはシンボリック数、変数、配列、関数、または式で指定されます。

出力引数

SN — ヤコビ sn 楕円関数

シンボリック式

ヤコビ sn 楕円関数。シンボリック式として返されます。

CN — ヤコビ cn 楕円関数

シンボリック式

ヤコビ cn 楕円関数。シンボリック式として返されます。

DN — ヤコビ dn 楕円関数

シンボリック式

ヤコビ dn 楕円関数。シンボリック式として返されます。

詳細

ヤコビ楕円関数

ヤコビ楕円関数は次のように定義されます。

$$\begin{array}{l}\text{sn}(u,m)=\sin \varphi \\ \text{cn}(u,m)=\cos \varphi \\ \text{dn}(u,m)=\sqrt{1-m{\sin }^2\varphi }\end{array}$$

ここで、ϕ は、次の第 1 種不完全楕円積分を満たします。

$$u={\displaystyle {\int }_0^{\varphi }\frac{d\theta }{\sqrt{1-m{\sin }^2\theta }}}.$$

ヒント

• シンボリック オブジェクトではない数値について ellipj を呼び出すと、MATLAB^® 関数 ellipj が呼び出されます。この関数では、0 <= m <= 1 のみを受け入れます。この範囲外の値についてヤコビ楕円関数を計算するには、sym または vpa を使用して、数値をシンボリック オブジェクトに変換してから、それらのシンボリック オブジェクトに対して ellipj を呼び出します。あるいは、関数 jacobiSN、jacobiCN、および jacobiDN を使用して、楕円関数を個別に計算します。

• ほとんどのシンボリックな (正確な) 数値に対し、ellipj は関数 jacobiSN、jacobiCN、および jacobiDN を使用して結果を返します。vpa を使用して、結果を浮動小数点数で近似することができます。

参照

[1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications (1965), 17.6.

バージョン履歴

R2017b で導入

参考

ellipticF | jacobiAM | jacobiSN | jacobiCN | jacobiDN