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qr

QR 分解

構文

R = qr(A)

[Q,R] = qr(A)

[Q,R,P] = qr(A)

[C,R] = qr(A,B)

[C,R,P] = qr(A,B)

[Q,R,p] = qr(A,'vector')

[C,R,p] = qr(A,B,'vector')

___ = qr(___,'econ')

___ = qr(___,'real')

説明

R = qr(A) は、QR 分解 A = Q*R の R 部を返します。ここで、A は m 行 n 列の行列、R は m 行 n 列の上三角行列、Q はm 行 m 列のユニタリ行列です。

[Q,R] = qr(A) は、A = Q*R となるように上三角行列 R とユニタリ行列 Q を返します。

[Q,R,P] = qr(A) は、A*P = Q*R となるように上三角行列 R とユニタリ行列 Q および置換行列 P を返します。A のすべての要素が浮動小数点数で近似する場合、この構文は abs(diag(R)) が減少するように列置換 P を選択します。そうでない場合は P = eye(n) を返します。

[C,R] = qr(A,B) は、C = Q'*B および A = Q*R となるように上三角行列 R と行列 C を返します。ここでは、A および B は同じ行数でなければなりません。

C と R は、行列方程式 A*X = B の解を X = R\C として表現します。

[C,R,P] = qr(A,B) は、C = Q'*B となるように上三角行列 R と行列 C を返し、A*P = Q*R となるように置換行列 P を返します。A のすべての要素が浮動小数点数で近似することができる場合、この構文は abs(diag(R)) が減少するように置換行列 P を選択します。そうでない場合は P = eye(n) を返します。ここでは、A および B は同じ行数でなければなりません。

C、R、および P は、行列方程式 A*X = B の解を X = P*(R\C) として表します。

[Q,R,p] = qr(A,'vector') は、置換情報を A(:,p) = Q*R となるベクトル p として返します。

[C,R,p] = qr(A,B,'vector') は、置換情報をベクトル p として返します。

C、R、および p は、行列方程式 A*X = B の解を X(p,:) = R\C として表します。

___ = qr(___,'econ') は、"エコノミー サイズ" の分解を返します。A が m > n を使用する m 行 n 列の行列である場合、qr は Q の最初の n 列および R の最初の n 行のみを計算します。m <= n では、'econ' を使用する構文は、対応する 'econ' をしない構文と等価です。

'econ' を使用すると、qr は常に置換情報をベクトル p として返します。

'econ' の代わりに 0 を使うことができます。たとえば、[Q,R] = qr(A,0) は、[Q,R] = qr(A,'econ') と等価です。

___ = qr(___,'real') は、入力引数と中間結果が実数であることを仮定するため、abs および conj への呼び出しを無効にします。このフラグを使用すると、qr はすべてのシンボリック変数が実数を表すことを仮定します。このフラグを使用する際は、すべての数値引数が実数であることを確認してください。

'real' を使用して、結果に複素共役が含まれないようにします。

例

QR 分解の R 部

4 行 4 列のウィルキンソンの固有値テスト行列 QR 分解の R 部を計算します。

4 行 4 列のウィルキンソンの固有値テスト行列を作成します。

A = sym(wilkinson(4))

A =
[ 3/2,   1,   0,   0]
[   1, 1/2,   1,   0]
[   0,   1, 1/2,   1]
[   0,   0,   1, 3/2]

単一の出力引数をもつ構文を使用して、QR 分解の Q 部を返さずに R 部を返します。

R = qr(A)

R =
[ 13^(1/2)/2,        (4*13^(1/2))/13,            (2*13^(1/2))/13,                              0]
[          0, (13^(1/2)*53^(1/2))/26, (10*13^(1/2)*53^(1/2))/689,       (2*13^(1/2)*53^(1/2))/53]
[          0,                      0,   (53^(1/2)*381^(1/2))/106, (172*53^(1/2)*381^(1/2))/20193]
[          0,                      0,                          0,             (35*381^(1/2))/762]

パスカル行列の QR 分解

3 行 3 列のパスカル行列の QR 分解を計算します。

3 行 3 列のパスカル行列を作成します。

A = sym(pascal(3))

A =
[ 1, 1, 1]
[ 1, 2, 3]
[ 1, 3, 6]

Aの QR 分解を表現する Q 行列と R 行列を計算します。

[Q,R] = qr(A)

Q =
[ 3^(1/2)/3, -2^(1/2)/2,  6^(1/2)/6]
[ 3^(1/2)/3,          0, -6^(1/2)/3]
[ 3^(1/2)/3,  2^(1/2)/2,  6^(1/2)/6]
 
R =
[ 3^(1/2), 2*3^(1/2), (10*3^(1/2))/3]
[       0,   2^(1/2),  (5*2^(1/2))/2]
[       0,         0,      6^(1/2)/6]

isAlways を使用して A = Q*R であることを検証します。

isAlways(A == Q*R)

ans =
  3×3 logical array
     1     1     1
     1     1     1
     1     1     1

置換情報

置換を使用すると、浮動小数点行列の QR 分解の数値安定性を上げることができます。関数 qr は、置換情報を行列またはベクトルとして返します。

可変精度の演算を行うための有効小数桁数を 10 に設定します。3 行 3 列のシンボリック ヒルベルト行列を浮動小数点数で近似します。

previoussetting = digits(10);
A = vpa(hilb(3))

A =
[          1.0,          0.5, 0.3333333333]
[          0.5, 0.3333333333,         0.25]
[ 0.3333333333,         0.25,          0.2]

まず、A の QR 分解を置換なしで計算します。

[Q,R] = qr(A)

Q =
[ 0.8571428571, -0.5016049166,  0.1170411472]
[ 0.4285714286,  0.5684855721, -0.7022468832]
[ 0.2857142857,  0.6520863915,  0.7022468832]
 
R =
[ 1.166666667, 0.6428571429,           0.45]
[           0, 0.1017143303,   0.1053370325]
[           0,            0, 0.003901371573]

A と Q*R の差を計算します。丸め誤差のため、計算された行列 Q と R は、厳密に等式 A*P = Q*R を満たしません。

A - Q*R

ans =
[ -1.387778781e-16, -3.989863995e-16, -2.064320936e-16]
[ -3.469446952e-18, -8.847089727e-17, -1.084202172e-16]
[ -2.602085214e-18, -6.591949209e-17, -6.678685383e-17]

QR 分解の数値安定性を上げるには、3 つの出力引数を使用する構文を指定することで置換を使用します。シンボリック変数、式または関数を含まない行列では、この構文は、R に返された行列の abs(diag(R)) が減少するようにピボットを起動します。

[Q,R,P] = qr(A)

Q =
[ 0.8571428571, -0.4969293466, -0.1355261854]
[ 0.4285714286,  0.5421047417,  0.7228063223]
[ 0.2857142857,  0.6776309272, -0.6776309272]
R =
[ 1.166666667,         0.45,   0.6428571429]
[           0, 0.1054092553,   0.1016446391]
[           0,            0, 0.003764616262]
P =
     1     0     0
     0     0     1
     0     1     0

再び、等式 A*P = Q*R を確認します。置換を使用すると QR 分解の丸め誤差が低くなります。

A*P - Q*R

ans =
[ -3.469446952e-18, -4.33680869e-18, -6.938893904e-18]
[                0, -8.67361738e-19, -1.734723476e-18]
[                0, -4.33680869e-19, -1.734723476e-18]

次に、'vector' 引数を使用して置換情報をベクトルとして返します。

[Q,R,p] = qr(A,'vector')

Q =
[ 0.8571428571, -0.4969293466, -0.1355261854]
[ 0.4285714286,  0.5421047417,  0.7228063223]
[ 0.2857142857,  0.6776309272, -0.6776309272]
R =
[ 1.166666667,         0.45,   0.6428571429]
[           0, 0.1054092553,   0.1016446391]
[           0,            0, 0.003764616262]
p =
     1     3     2

A(:,p) = Q*R であることを検証します。

A(:,p) - Q*R

ans =
[ -3.469446952e-18, -4.33680869e-18, -6.938893904e-18]
[                0, -8.67361738e-19, -1.734723476e-18]
[                0, -4.33680869e-19, -1.734723476e-18]

正確なシンボリック計算により丸め誤差を回避することができます。

A = sym(hilb(3));
[Q,R] = qr(A);
A - Q*R

ans =
[ 0, 0, 0]
[ 0, 0, 0]
[ 0, 0, 0]

小数点以下の有効桁数を既定の設定に戻します。

digits(previoussetting)

QR 分解を使用した行列方程式の求解

qr を使用して、方程式系を行列形式で解くことができます。

たとえば、方程式系 A*X = b を解く必要があるとします。A と b は、次の行列とベクトルです。

A = sym(invhilb(5))
b = sym([1:5]')

A =
[    25,   -300,    1050,   -1400,    630]
[  -300,   4800,  -18900,   26880, -12600]
[  1050, -18900,   79380, -117600,  56700]
[ -1400,  26880, -117600,  179200, -88200]
[   630, -12600,   56700,  -88200,  44100]
b =
 
 1
 2
 3
 4
 5

qr を使用して、C = Q'*B と A = Q*R になるように、行列 C と R を求めます。

[C,R] = qr(A,b);

解 X を計算します。

X = R\C

X =
        5
    71/20
   197/70
  657/280
 1271/630

isAlways を使用して、X が系 A*X = b の解であることを検証します。

isAlways(A*X == b)

ans =
  5×1 logical array
     1
     1
     1
     1
     1

置換情報をもつ QR 分解を使用した行列方程式の求解

浮動小数点数をもつ方程式系を解く際に、置換行列または置換ベクトルをもつ QR 分解を使用します。

たとえば、方程式系 A*X = b を解く必要があるとします。A と b は、次の行列とベクトルです。

previoussetting = digits(10);
A = vpa([2 -3 -1; 1 1 -1; 0 1 -1]);
b = vpa([2; 0; -1]);

qr を使用して、C = Q'*B と A = Q*R になるように、行列 C と R を求めます。

[C,R,P] = qr(A,b)

C =
  -2.110579412
 -0.2132007164
  0.7071067812
R =
[ 3.31662479, 0.3015113446, -1.507556723]
[          0,  1.705605731, -1.492405014]
[          0,            0, 0.7071067812]
P =
     0     0     1
     1     0     0
     0     1     0

解 X を計算します。

X = P*(R\C)

X =
   1.0
 -0.25
  0.75

または、置換情報をベクトルとして返します。

[C,R,p] = qr(A,b,'vector')

C =
  -2.110579412
 -0.2132007164
  0.7071067812
R =
[ 3.31662479, 0.3015113446, -1.507556723]
[          0,  1.705605731, -1.492405014]
[          0,            0, 0.7071067812]
p =
     2     3     1

この場合、次のように解 X を計算します。

X(p,:) = R\C

X =
   1.0
 -0.25
  0.75

小数点以下の有効桁数を既定の設定に戻します。

digits(previoussetting)

"エコノミー サイズ" 分解

'econ' を使用して、"エコノミー サイズ" QR 分解を行います。

4 行 4 列のパスカル行列の最初の 2 列の行列を作成します。

A = sym(pascal(4));
A = A(:,1:2)

A =
[ 1, 1]
[ 1, 2]
[ 1, 3]
[ 1, 4]

この行列の QR 分解を計算します。

[Q,R] = qr(A)

Q =
[ 1/2, -(3*5^(1/2))/10,    (3^(1/2)*10^(1/2))/10,          0]
[ 1/2,     -5^(1/2)/10, -(2*3^(1/2)*10^(1/2))/15,  6^(1/2)/6]
[ 1/2,      5^(1/2)/10,   -(3^(1/2)*10^(1/2))/30, -6^(1/2)/3]
[ 1/2,  (3*5^(1/2))/10,    (3^(1/2)*10^(1/2))/15,  6^(1/2)/6]
 
R =
[ 2,       5]
[ 0, 5^(1/2)]
[ 0,       0]
[ 0,       0]

次に、この行列の "エコノミー サイズ" QR 分解を計算します。行数は列数を上回るので、qr は Q の最初の 2 列と R の最初の2 行のみを計算します。

[Q,R] = qr(A,'econ')

Q =
[ 1/2, -(3*5^(1/2))/10]
[ 1/2,     -5^(1/2)/10]
[ 1/2,      5^(1/2)/10]
[ 1/2,  (3*5^(1/2))/10]
 
R =
[ 2,       5]
[ 0, 5^(1/2)]

複素共役の回避

'real' フラグを使用して、結果に複素共役が含まれないようにします。

行列を作成します。その行列の 1 つの要素は変数です。

syms x
A = [1 2; 3 x]

A =
[ 1, 2]
[ 3, x]

この行列の QR 分解を計算します。既定の設定では、qr は x が複素数を表現すると仮定するので、結果には関数 abs を使用する式が含まれます。

[Q,R] = qr(A)

Q =
[     10^(1/2)/10, -((3*x)/10 - 9/5)/(abs(x/10 - 3/5)^2...
                          + abs((3*x)/10 - 9/5)^2)^(1/2)]
[ (3*10^(1/2))/10,      (x/10 - 3/5)/(abs(x/10 - 3/5)^2...
                          + abs((3*x)/10 - 9/5)^2)^(1/2)]
 
R =
[ 10^(1/2),                           (10^(1/2)*(3*x + 2))/10]
[        0, (abs(x/10 - 3/5)^2 + abs((3*x)/10 - 9/5)^2)^(1/2)]

'real' を使用すると、qr はすべてのシンボリック変数が実数を表現すると仮定するので、短い結果を返すことができます。

[Q,R] = qr(A,'real')

Q =
[     10^(1/2)/10, -((3*x)/10 - 9/5)/(x^2/10 - (6*x)/5...
                                          + 18/5)^(1/2)]
[ (3*10^(1/2))/10,      (x/10 - 3/5)/(x^2/10 - (6*x)/5...
                                          + 18/5)^(1/2)]
 
R =
[ 10^(1/2),         (10^(1/2)*(3*x + 2))/10]
[        0, (x^2/10 - (6*x)/5 + 18/5)^(1/2)]

入力引数

A — 入力行列

m 行 n 列のシンボリック行列。

入力行列。m 行 n 列のシンボリック行列として指定します。

B — 入力

シンボリック ベクトル | シンボリック行列

入力。シンボリック ベクトルまたは行列として指定します。B の行数は、A の行数と同じでなければなりません。

出力引数

R — QR 分解の R 部

m 行 n 列の上三角行列

QR 分解の R 部。m 行 n 列の上三角行列として返されます。

Q — QR 分解の Q 部

m 行 m 列のユニタリ シンボリック行列

QR 分解の Q 部。m 行 m 列のユニタリ シンボリック行列として返されます。

P — 置換情報

倍精度値の行列

A*P = Q*R となるように倍精度の値の行列として返されます。

p — 置換情報

倍精度値のベクトル

A(:,p) = Q*R となるように倍精度の値のベクトルとして返されます。

C — 行列方程式 A*X = B の解を表す行列

シンボリック行列

行列方程式 A*X = B の解を表す行列。C = Q'*B となるようにシンボリック行列として返されます。

詳細

行列の QR 分解

QR 分解は、m 行 n 列の行列 A を A = Q*R として表します。ここでは、Q は m 行 m 列 のユニタリ行列で、R はm 行 n 列の上三角行列です。A の要素が実数の場合、Q は直交行列です。

ヒント

• 上三角行列 A は次の条件を満たします。 R = chol(A'*A).

• 引数 'econ' と 0 は返される行列の形状のみに影響を与えます。

• シンボリック オブジェクトではない数値行列 (sym、syms または vpa により作成されていない行列) で qr を呼び出すと、MATLAB^® 関数 qr が起動します。

• 'vector' の代わりに 'matrix' を使用した場合、qr は既定の場合と同様に置換行列を返します。'matrix' と 'econ' を使用すると、qr はエラーをスローします。

• 多くのシンボリック変数が含まれる行列計算は低速になる可能性があります。計算速度を向上させるには、特定の値を変数に代入することでシンボリック変数の数を減らします。

参考

chol | eig | lu | svd

R2014a で導入