isPrimitiveRoot

原始根である配列要素の判定

構文

TF = isPrimitiveRoot(G,N)

説明

TF = isPrimitiveRoot(G,N) は N を法とする原始根である G の対応する要素を 1 (true) とし、原始根でない要素を 0 (false) とする logical 配列を返します。G の要素は整数、N の要素は正の整数でなければなりません。

例

11 を法とする原始根を求める

1 から 11 までの正の整数を含む行ベクトルを作成します。11 を法とする原始根を判定します。

G = 1:11;
TF = isPrimitiveRoot(G,11)

TF = 1×11 logical array

   0   1   0   0   0   1   1   1   0   0   0

11 を法とする原始根である最小の正の整数を求めます。

Z1 = find(TF,1)

Z1 = 
2

11 を法とする原始根である正の整数 (11 以下) をすべて表示します。

Z = G(TF)

Z = 1×4

     2     6     7     8

15 を法とする原始根を求める

-15 から 15 までの整数を含む行ベクトルを作成します。15 を法とする原始根である整数を求めます。

G = -15:15;
Z = G(isPrimitiveRoot(G,15))

Z =

  1×0 empty double row vector

整数 15 には原始根がありません。

入力引数

G — 基数

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック配列

基数。数値、ベクトル、行列、配列、シンボリック数またはシンボリック配列として指定します。G の要素は整数でなければなりません。G と N は同じサイズであるか、一方がスカラーでなければなりません。

データ型: single | double | sym

N — 除数

数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック配列

除数。数値、ベクトル、行列、配列、シンボリック数またはシンボリック配列として指定します。N の要素は正の整数でなければなりません。G と N は同じサイズであるか、一方がスカラーでなければなりません。

データ型: single | double | sym

詳細

原始根

ある数 g は、n (または $$\gcd (a,n)=1$$) に対して互いに素であるすべての数 a が n を法として g のべき乗と合同である場合に、n を法とする原始根です。つまり、n に対して互いに素であるすべての整数 a について $$g^k\equiv a(\text{mod }n)$$ が成り立つ整数 k がある場合に、g は n を法とする原始根です。n を法とする原始根は $$n=1,2,4,p^k,\text{or }2p^k$$ の場合にのみ存在します。ここで p は奇素数であり、k は正の整数であるとします。

たとえば、$$2^k\equiv a(\text{mod 5})$$ は 5 に対して互いに素であるすべての整数 a について成り立つため、整数 2 は 5 を法とする原始根です。

$$\begin{array}{l}{2}^1=2\equiv 2(\text{mod 5})\\ 2^2=4\equiv 4(\text{mod 5})\\ 2^3=8\equiv 3(\text{mod 5})\\ 2^4=16\equiv 1(\text{mod 5})\\ ⋮\end{array}$$

バージョン履歴

R2020a で導入

参考

eulerPhi | prevprime | nextprime | nthprime