eulerPhi
説明
は正の整数 p
= eulerPhi(n
)n
に対するオイラーのファイ関数 (トーシェント関数とも呼ばれる) を評価します。
例
オイラーのファイ関数の乗法的性質
整数 に対するオイラーのファイ関数 を計算します。
p = eulerPhi(35)
p = 24
オイラーのファイ関数は 2 つの整数 と が互いに素である場合に乗法的性質 を満たします。整数 35 の因数分解は 7 と 5 であり、これらは互いに素です。 が乗法的性質を満たすことを示します。
この 2 つの因数分解について と を計算します。
px = eulerPhi(7)
px = 6
py = eulerPhi(5)
py = 4
px
と py
が乗法的性質を満たしているか検証します。
p = px*py
p = 24
オイラーの積公式
正の整数 が異なる素因数 をもつ素因数分解 をもつ場合、オイラーのファイ関数は次の積公式を満たします。
.
整数 は異なる素因数 と をもちます。 がオイラーの積公式を満たすことを示します。
をシンボリック数として宣言し、 を評価します。
n = sym(36)
n =
p = eulerPhi(n)
p =
の素因数をリストにします。
f_n = factor(n)
f_n =
素因数 と を積公式に代入します。
p_product = n*(1-1/2)*(1-1/3)
p_product =
オイラーの定理
オイラーの定理は、2 つの正の整数 と が互いに素である場合に限り が成り立つとするものです。整数 と について、オイラーのファイ関数 がオイラーの定理を満たすことを示します。
a = 15; n = 4; isCongruent = powermod(a,eulerPhi(n),n) == mod(1,n)
isCongruent = logical
1
a
と n が互いに素であることを確認します。
g = gcd(a,n)
g = 1
オイラーのファイ関数の結果の平均値
1 から 1000 の整数 について、オイラーのファイ関数 を計算します。
P = eulerPhi(1:1000);
の平均値を求めます。
Pave = mean(P./(1:1000))
Pave = 0.6082
入力引数
n
— 入力
数値 | ベクトル | 行列 | 配列 | シンボリック数 | シンボリック配列
入力。数値、ベクトル、行列、配列、シンボリック数またはシンボリック配列として指定します。n
の要素は正の整数でなければなりません。
データ型: single
| double
| sym
詳細
オイラーのファイ関数
オイラーのファイ関数 は n に対して互いに素である 1 から n までの整数の数を計算します。互いに割り切る 1 より大きい整数がない場合、2 つの整数は互いに素です。言い換えれば、その最大公約数が 1 の場合です。
参照
[1] Redmond, D. Number Theory: An Introduction to Pure and Applied Mathematics. New York: Marcel Dekker, 1996.
バージョン履歴
R2020a で導入
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