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陰関数表面の接平面と法線

R2021b 以降

この例では、陰関数表面の接平面と法線を求める方法を示します。この例では、コンパクトな数学的表記のために、シンボリック行列変数 (symmatrixデータ型) を使用します。

表面は、球体 $$x^2+y^2+z^2=R^2$$ のように暗黙的に定義できます。一般に、暗黙的に定義された曲面は、$$f(x,y,z)=k$$ という方程式で表されます。この例では、半径が $$R=\sqrt{14}$$ の球体の接平面と法線を求めます。

シンボリック行列変数 $$r$$ を作成して、$$⟨x,y,z⟩$$ 座標を表します。球面関数を $$f(r)=r\cdot r$$ として定義します。

clear; close all; clc
syms r [1 3] matrix
f = r*r.'

f = $$r\hspace{0.17em}{r}^{\mathrm{T}}$$

陰的方程式 $$f(r)=14$$ は、球体を表します。symmatrix2symを使用して、方程式を syms データ型に変換します。関数fimplicit3を使用して方程式をプロットします。

feqn = symmatrix2sym(f == 14)

feqn = $${r_{1,1}}^2+{r_{1,2}}^2+{r_{1,3}}^2=14$$

fimplicit3(feqn)
axis equal
axis([-6 6 -6 6 -6 6])

次に、点 $$r_0=⟨x_0,y_0,z_0⟩$$ における接平面と法線を求めます。

$$f$$ の勾配ベクトルが $$\nabla f(r)=⟨f_x(r),f_y(r),f_z(r)⟩$$ であることを思い出してください。このとき、点 $$r_0$$ における接平面の方程式は、$$f_x(r_0)(x-x_0)+f_y(r_0)(y-y_0)+f_z(r_0)(z-z_0)=0$$ で与えられます。コンパクトな数学的表記では、接平面の方程式を $$\nabla f(r_0)\cdot (r-r_0)=0$$ のように記述できます。

関数gradientを使用して、$$f(r)$$ の勾配を求めます。結果が 3 行 1 列のシンボリック行列変数となることに注意してください。

fgrad = gradient(f,r)

fgrad = $$2\hspace{0.17em}{r}^{\mathrm{T}}$$

size(fgrad)

ans = 1×2

     3     1

接平面の方程式を定義します。関数subsを使用して、点 $$r_0=⟨1,-2,3⟩$$ における勾配を評価します。

r0 = [-2,1,3];
fplane = (r-r0)*subs(fgrad,r,r0)

fplane = 
$$\begin{array}{l}2\hspace{0.17em}\left(-{\Sigma }_1+r\right)\hspace{0.17em}{{\Sigma }_1}^{\mathrm{T}}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\end{array}\right)\end{array}$$

plot3を使用して点 $$r_0$$ をプロットし、fimplicit3 を使用して接平面をプロットします。

hold on
plot3(r0(1),r0(2),r0(3),'ro',MarkerSize = 10,MarkerFaceColor = 'r')
fimplicit3(symmatrix2sym(fplane == 0))

点 $$r_0$$ における法線の方程式は、$$n(t)=⟨x_0,y_0,z_0⟩+t⟨f_x(r_0),f_y(r_0),f_z(r_0)⟩$$ で与えられます。コンパクトな数学的表記では、この方程式を $$n(t)=r_0+t\nabla f(r_0)$$ のように記述できます。

法線の方程式を定義します。

syms t
n = r0 + t*subs(fgrad,r,r0).'

n = 
$$\begin{array}{l}{\Sigma }_1+2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}{\Sigma }_1\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\Sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 3\end{array}\right)\end{array}$$

symmatrix2sym を使用して、法線の方程式を syms データ型に変換します。n にインデックスを付けて、法線のパラメトリック曲線 $$x(t)$$、$$y(t)$$、および $$z(t)$$ を抽出します。fplot3を使用して法線をプロットします。

n = symmatrix2sym(n)

n = $$\left(\begin{array}{ccc}-4\hspace{0.17em}t-2& 2\hspace{0.17em}t+1& 6\hspace{0.17em}t+3\end{array}\right)$$

fplot3(n(1),n(2),n(3),[0 1],'r->')