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線形計画法の設定、問題ベース

ソルバー形式への問題の変換

この例では、問題ベースのアプローチを使用して、線形問題を数学的な形式から Optimization Toolbox™ ソルバーの構文に変換する方法を示します。

問題に含まれる変数や式は、化学工場の運営モデルを表しており、Edgar と Himmelblau による [1] から引用しています。2 つの関連するビデオで問題が解説されます。

Part 2 のビデオに厳密に従っているこの例は、問題をソルバー構文に変換することに焦点が当てられています。

モデルの説明

Part 1 のビデオは、問題を数学的形式に変換するための次のアプローチを提案しています。

  1. 問題の概要を示す。

  2. ゴールを特定する (何らかの要素の最大化または最小化)。

  3. 変数を特定 (指定) する。

  4. 制約を特定する。

  5. 制御可能な変数を判別する。

  6. すべての数量の数学的表記で指定する。

  7. モデルの完全性と正確さをチェックする。

このセクションでの変数の意味については、Part 1 のビデオを参照してください。

最適化の問題では、すべての他の式を制約として、目的関数を最小化します。

ここでは、目的関数は次のとおりです。

0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP.

制約は次のとおりです。

2500 ≤ P1 ≤ 6250
I1 ≤ 192,000
C ≤ 62,000
I1 - HE1 ≤ 132,000
I1 = LE1 + HE1 + C
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
3000 ≤ P2 ≤ 9000
I2 ≤ 244,000
LE2 ≤ 142,000
I2 = LE2 + HE2
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
LPS = LE1 + LE2 + BF2
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
P1 + P2 + PP ≥ 24,550
EP + PP ≥ 12,000
MPS ≥ 271,536
LPS ≥ 100,623
すべての変数が正です。

最初の解法: 各問題変数の最適化変数の作成

最初の解法では、各問題変数の最適化変数を作成します。変数を作成する際に、それらの範囲を含めます。

P1 = optimvar('P1','LowerBound',2500,'UpperBound',6250);
P2 = optimvar('P2','LowerBound',3000,'UpperBound',9000);
I1 = optimvar('I1','LowerBound',0,'UpperBound',192000);
I2 = optimvar('I2','LowerBound',0,'UpperBound',244000);
C = optimvar('C','LowerBound',0,'UpperBound',62000);
LE1 = optimvar('LE1','LowerBound',0);
LE2 = optimvar('LE2','LowerBound',0,'UpperBound',142000);
HE1 = optimvar('HE1','LowerBound',0);
HE2 = optimvar('HE2','LowerBound',0);
HPS = optimvar('HPS','LowerBound',0);
MPS = optimvar('MPS','LowerBound',271536);
LPS = optimvar('LPS','LowerBound',100623);
BF1 = optimvar('BF1','LowerBound',0);
BF2 = optimvar('BF2','LowerBound',0);
EP = optimvar('EP','LowerBound',0);
PP = optimvar('PP','LowerBound',0);

問題および目的の作成

最適化問題コンテナーを作成します。目的関数を問題に含めます。

linprob = optimproblem('Objective',0.002614*HPS + 0.0239*PP + 0.009825*EP);

線形制約を作成して含める

問題の式には、次の 3 つの線形不等式が含まれています。

I1 - HE1 ≤ 132,000
EP + PP ≥ 12,000
P1 + P2 + PP ≥ 24,550		(1)

これらの不等式制約を作成し、問題に含めます。

linprob.Constraints.cons1 = I1 - HE1 <= 132000;
linprob.Constraints.cons2 = EP + PP >= 12000;
linprob.Constraints.cons3 = P1 + P2 + PP >= 24550;

問題には、次の 8 つの線形等式が含まれています。

I2 = LE2 + HE2
LPS = LE1 + LE2 + BF2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
I1 = LE1 + HE1 + C
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2.		(2)

これらの制約も含めます。

linprob.Constraints.econs1 = LE2 + HE2 == I2;
linprob.Constraints.econs2 = LE1 + LE2 + BF2 == LPS;
linprob.Constraints.econs3 = I1 + I2 + BF1 == HPS;
linprob.Constraints.econs4 = C + MPS + LPS == HPS;
linprob.Constraints.econs5 = LE1 + HE1 + C == I1;
linprob.Constraints.econs6 = HE1 + HE2 + BF1 == BF2 + MPS;
linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*HE1 + 1251.4*LE1 + 192*C + 3413*P1 == 1359.8*I1;
linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*HE2 + 1251.4*LE2 + 3413*P2 == 1359.8*I2;

問題を解く

問題の定式化は完了です。solve を使用して、問題を解きます。

linsol = solve(linprob);
Optimal solution found.

解の検証

目的関数を評価します。([linsol,fval] = solve(linprob) を呼び出すことで、この値を取得することもできます。)

evaluate(linprob.Objective,linsol)
ans =

   1.2703e+03

この工場の運営にかかる最低コストは $1,207.30 です。

解の変数値を調べます。

tbl = struct2table(linsol)
tbl =

  1×16 table

    BF1    BF2      C         EP         HE1           HE2           HPS            I1           I2       LE1       LE2           LPS           MPS         P1       P2       PP  
    ___    ___    ______    ______    __________    __________    __________    __________    ________    ___    __________    __________    __________    ____    ______    _____

    0      0      8169.7    760.71    1.2816e+05    1.4338e+05    3.8033e+05    1.3633e+05    2.44e+05    0      1.0062e+05    1.0062e+05    2.7154e+05    6250    7060.7    11239

この表は幅が広すぎて内容を簡単に把握できません。変数を縦に並べて見やすくします。

vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',...
'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'};
outputvars = stack(tbl,vars,'NewDataVariableName','Amt','IndexVariableName','Var')
outputvars =

  16×2 table

    Var       Amt    
    ___    __________

    P1          6250
    P2        7060.7
    I1    1.3633e+05
    I2      2.44e+05
    C        8169.7
    LE1             0
    LE2    1.0062e+05
    HE1    1.2816e+05
    HE2    1.4338e+05
    HPS    3.8033e+05
    MPS    2.7154e+05
    LPS    1.0062e+05
    BF1             0
    BF2             0
    EP        760.71
    PP         11239

  • BF1、BF2、および LE1 は、下限値である 0 です。

  • I2 は上限値である 244,000 です。

  • 目的関数 (コスト) のゼロでない成分は以下のとおりです。

    • HPS — 380,328.74

    • PP — 11,239.29

    • EP — 760.71

Part 2 のビデオでは、元の問題に関して、これらの特性が説明されています。

2 番目の解法: 1 つの最適化変数とインデックスの作成

別の方法として、問題変数の名前をインデックスとしてもつ最適化変数を 1 つのみ使用して、問題を解くこともできます。この方法では、下限 0 を一度にすべての問題変数に与えることができます。

vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',...
    'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'};
x = optimvar('x',vars,'LowerBound',0);

変数範囲の設定

ドット表記を使用して、変数に範囲を含めます。

x('P1').LowerBound = 2500;
x('P2').LowerBound = 3000;
x('MPS').LowerBound = 271536;
x('LPS').LowerBound = 100623;
x('P1').UpperBound = 6250;
x('P2').UpperBound = 9000;
x('I1').UpperBound = 192000;
x('I2').UpperBound = 244000;
x('C').UpperBound = 62000;
x('LE2').UpperBound = 142000;

問題、線形制約、解の作成

問題の設定の残りの部分は、個別の変数を使用した設定に似ています。違いは、P1 などの名前で変数を指定するのではなく、そのインデックス x('P1') を使用する点です。

問題のオブジェクトを作成し、線形制約を含めて、問題を解きます。

linprob = optimproblem('Objective',0.002614*x('HPS') + 0.0239*x('PP') + 0.009825*x('EP'));

linprob.Constraints.cons1 = x('I1') - x('HE1') <= 132000;
linprob.Constraints.cons2 = x('EP') + x('PP') >= 12000;
linprob.Constraints.cons3 = x('P1') + x('P2') + x('PP') >= 24550;

linprob.Constraints.econs1 = x('LE2') + x('HE2') == x('I2');
linprob.Constraints.econs2 = x('LE1') + x('LE2') + x('BF2') == x('LPS');
linprob.Constraints.econs3 = x('I1') + x('I2') + x('BF1') == x('HPS');
linprob.Constraints.econs4 = x('C') + x('MPS') + x('LPS') == x('HPS');
linprob.Constraints.econs5 = x('LE1') + x('HE1') + x('C') == x('I1');
linprob.Constraints.econs6 = x('HE1') + x('HE2') + x('BF1') == x('BF2') + x('MPS');
linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*x('HE1') + 1251.4*x('LE1') + 192*x('C') + 3413*x('P1') == 1359.8*x('I1');
linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*x('HE2') + 1251.4*x('LE2') + 3413*x('P2') == 1359.8*x('I2');

[linsol,fval] = solve(linprob);
Optimal solution found.

インデックス付きの解の検証

解を縦型の表として調べます。

tbl = table(vars',linsol.x')
tbl =

  16×2 table

    Var1        Var2   
    _____    __________

    'P1'           6250
    'P2'         7060.7
    'I1'     1.3633e+05
    'I2'       2.44e+05
    'C'          8169.7
    'LE1'             0
    'LE2'    1.0062e+05
    'HE1'    1.2816e+05
    'HE2'    1.4338e+05
    'HPS'    3.8033e+05
    'MPS'    2.7154e+05
    'LPS'    1.0062e+05
    'BF1'             0
    'BF2'             0
    'EP'         760.71
    'PP'          11239

参考文献

[1] Edgar, Thomas F., and David M. Himmelblau. Optimization of Chemical Processes. New York: McGraw-Hill, 1987.

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