qrinsert

QR 分解から列または行を挿入

構文

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x) [Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,'col') [Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,'row')

説明

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x) は、行列 A1 の QR 分解を返します。ここで、A1 は、列 x が A(:,j) の前に挿入された A = Q*R です。A が n 列で j = n+1 の場合、x は A の最後の列の後に挿入されます。

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,'col') は、qrinsert(Q,R,j,x) と同じです。

[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,'row') は、行列 A1 の QR 分解を返します。ここで、A1 は、追加の行 x が A(j,:) の前に挿入された A = Q*R です。

例

A = magic(5);  
[Q,R] = qr(A);
j = 3; 
x = 1:5;
[Q1,R1] = qrinsert(Q,R,j,x,'row')

Q1 =
    0.5231    0.5039   -0.6750    0.1205    0.0411    0.0225
    0.7078   -0.6966    0.0190   -0.0788    0.0833   -0.0150
    0.0308    0.0592    0.0656    0.1169    0.1527   -0.9769
    0.1231    0.1363    0.3542    0.6222    0.6398    0.2104
    0.3077    0.1902    0.4100    0.4161   -0.7264   -0.0150
    0.3385    0.4500    0.4961   -0.6366    0.1761    0.0225

R1 =
   32.4962   26.6801   21.4795   23.8182   26.0031
         0   19.9292   12.4403    2.1340    4.3271
         0         0   24.4514   11.8132    3.9931
         0         0         0   20.2382   10.3392
         0         0         0         0   16.1948
         0         0         0         0         0

は、有効な QR 分解を返しますが、以下とは異なります。

A2 = [A(1:j-1,:); x; A(j:end,:)];
[Q2,R2] = qr(A2)

Q2 =
   -0.5231    0.5039    0.6750   -0.1205    0.0411    0.0225
   -0.7078   -0.6966   -0.0190    0.0788    0.0833   -0.0150
   -0.0308    0.0592   -0.0656   -0.1169    0.1527   -0.9769
   -0.1231    0.1363   -0.3542   -0.6222    0.6398    0.2104
   -0.3077    0.1902   -0.4100   -0.4161   -0.7264   -0.0150
   -0.3385    0.4500   -0.4961    0.6366    0.1761    0.0225

R2 =
  -32.4962  -26.6801  -21.4795  -23.8182  -26.0031
         0   19.9292   12.4403    2.1340    4.3271
         0         0  -24.4514  -11.8132   -3.9931
         0         0         0  -20.2382  -10.3392
         0         0         0         0   16.1948
         0         0         0         0         0

アルゴリズム

関数 qrinsert は、R の j 列 (行) 目に x の値を挿入します。次に、一連のギブンス回転を使用して j 列 (行) 目で対角上およびその下にある R のゼロでない要素をゼロにします。[1]

参照

[1] Golub, Gene H., and Charles F. Van Loan. Matrix Computations. 4th ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, 2013, Sections 6.5.2–6.5.3, pp. 335–338.