funm

一般的な行列関数の計算

構文

F = funm(A,fun)
F = funm(A,fun,options)
F = funm(A,fun,options,p1,p2,...)
[F,exitflag] = funm(...)
[F,exitflag,output] = funm(...)

説明

F = funm(A,fun) は、ユーザー定義の関数 fun を正方行列の引数 A において評価します。F = fun(x,k) はベクトル x と整数 k を受け取り、x と同じサイズのベクトル f を返さなければなりません。ここで、f(i) は、x(i) で評価された関数 fun の k 番目の導関数です。fun で表される関数は、収束半径が無限大のテイラー級数をもつ必要があります。ただし、fun = @log の場合を除きます。これは、特殊なケースとして扱われます。

関数 funm を使用して、次の表に一覧表示された特殊な関数を行列 A で評価することもできます。

関数

関数を行列 A で評価するための構文

exp

funm(A, @exp)

log

funm(A, @log)

sin

funm(A, @sin)

cos

funm(A, @cos)

sinh

funm(A, @sinh)

cosh

funm(A, @cosh)

行列平方根の場合には、代わりに sqrtm(A) を使用します。行列指数の場合、expm(A) または funm(A, @exp) のいずれが正確かは、行列 A に依存します。

fun で表される関数は、収束半径が無限大のテイラー級数をもつ必要があります。例外は @log で、特殊なケースとして扱われます。必要な場合は、関数 fun に追加パラメーターを提供する方法が関数のパラメーター化に記載されています。

F = funm(A,fun,options) は、アルゴリズムのパラメーターを options 構造体の値に設定します。

次の表に、options のフィールドの一覧を示します。

フィールド

説明

値

options.Display

表示のレベル

'off' (既定の設定)、'on'、'verbose'

options.TolBlk

Schur 型のブロックに対する許容誤差

正のスカラー。既定値は 0.1です。

options.TolTay

対角ブロックのテイラー級数を評価するための終了許容誤差

正のスカラー。既定値は eps です。

options.MaxTerms

テイラー級数の最大項数

正の整数。既定値は 250です。

options.MaxSqrt

アルゴリズムの計算において、逆スケーリングと二乗法で計算された平方根の最大数

正の整数。既定値は 100です。

options.Ord

Schur 型 T の順序を指定します。

長さが length(A) のベクトル。options.Ord(i) は T(i,i) が配置されるブロックのインデックスです。既定値は [] です。

F = funm(A,fun,options,p1,p2,...) は、余分の入力 p1,p2,... を関数に渡します。

[F,exitflag] = funm(...) は、関数 funm の終了条件を記述するスカラー exitflag を返します。引数 exitflag は次の値を取ります。

  • 0 — アルゴリズムは成功しました。

  • 1 — 1 つ以上のテイラー級数が収束しなかった、または、対数の場合は、必要な行列の平方根が多すぎたことを示します。ただし、その場合にも F の値は正しく計算されている可能性があります。

[F,exitflag,output] = funm(...) は、以下のフィールドをもつ構造体 output を出力します。

フィールド

説明

output.terms

output.terms(i) が i 番目のブロックの評価に使用する際のテイラー級数の項数となるベクトル、または対数の場合には、2 より大きい次元の行列の平方根の数

output.ind

並べ替えられた Schur 係数 T の (i,j) ブロックが T(output.ind{i}, output.ind{j}) となる cell 配列

output.ord

Schur 型が関数 ordschur に渡されるときの順序

output.T

並べ替えた Schur 型

Schur が対角行列の場合、output = struct('terms',ones(n,1),'ind',{1:n}) となります。

例

例 1

次のコマンドは、3 行 3 列の魔方陣行列の正弦値を計算します。

F=funm(magic(3), @sin)

F =

   -0.3850    1.0191    0.0162
    0.6179    0.2168   -0.1844
    0.4173   -0.5856    0.8185

例 2

ステートメント

S = funm(X,@sin);
C = funm(X,@cos);

は、丸め誤差の範囲内で以下の場合と同じ結果を出力します。

E = expm(i*X);
C = real(E);
S = imag(E);

いずれの場合も結果は S*S+C*C = I を満たします。ここで、I = eye(size(X)) です。

例 3

A における関数 exp(x) + cos(x) を 1 回の関数 funm の呼び出しで計算する方法は以下のとおりです。

F = funm(A,@fun_expcos)

ここで、fun_expcos は次の関数です。

function f = fun_expcos(x, k)
% Return kth derivative of exp + cos at X.
        g = mod(ceil(k/2),2);
        if mod(k,2)
           f = exp(x) + sin(x)*(-1)^g;
        else
           f = exp(x) + cos(x)*(-1)^g;
        end

アルゴリズム

関数 funm のアルゴリズムは[1]に記述されています。

参照

[1] Davies, P. I. and N. J. Higham, “A Schur-Parlett algorithm for computing matrix functions,” SIAM J. Matrix Anal. Appl., Vol. 25, Number 2, pp. 464-485, 2003.

[2] Golub, G. H. and C. F. Van Loan, Matrix Computation, Third Edition, Johns Hopkins University Press, 1996, p. 384.

[3] Moler, C. B. and C. F. Van Loan, “Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later” SIAM Review 20, Vol. 45, Number 1, pp. 1-47, 2003.

拡張機能

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バージョン履歴

R2006a より前に導入

参考

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トピック