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cumtrapz
累積の台形則による数値積分
説明
例
データ点の間隔が 1 であるベクトルの累積積分を計算します。
データの数値ベクトルを作成します。
Y = [1 4 9 16 25];
Y は、定義域 [1 5] における の関数値を含みます。
cumtrapz を使用して、間隔 1 のデータを積分します。
Q = cumtrapz(Y)
Q = 1×5
0 2.5000 9.0000 21.5000 42.0000
この近似積分では、最終値 42 が得られます。この場合、厳密解はわずかに小さい です。関数 cumtrapz は積分値を過大に推定しますが、これは f(x) が上に凹であるためです。
データ点の間隔が等しいが 1 ではないベクトルの累積積分を計算します。
領域ベクトルを作成します。
X = 0:pi/5:pi;
X の正弦を計算します。
Y = sin(X');
cumtrapz を使用して Y を累積積分します。点の間隔が一定であるが 1 と等しくはない場合、X のベクトルを作成する別の方法は、スカラー間隔値を指定することです。その場合、cumtrapz(pi/5,Y) は pi/5*cumtrapz(Y) と同じになります。
Q = cumtrapz(X,Y)
Q = 6×1
0
0.1847
0.6681
1.2657
1.7491
1.9338
非等間隔のデータがある行列の行を累積積分します。
x 座標のベクトルと、不規則な間隔で発生する観測値の行列を作成します。Y の行は、3 回の異なる試行で、X に含まれている時点において取得された速度データを表します。
X = [1 2.5 7 10];
Y = [5.2 7.7 9.6 13.2;
4.8 7.0 10.5 14.5;
4.9 6.5 10.2 13.8];cumtrapz を使用して各行を個別に積分し、各試行の累積移動距離を求めます。データは一定間隔で評価されないため、X を指定してデータ点の間隔を示します。データは Y の行内にあるため、dim = 2 を指定します。
Q1 = cumtrapz(X,Y,2)
Q1 = 3×4
0 9.6750 48.6000 82.8000
0 8.8500 48.2250 85.7250
0 8.5500 46.1250 82.1250
結果は、Y と同じサイズで、各行の累積積分をもつ行列です。
x 方向および y 方向の入れ子の積分を実行します。結果をプロットして、両方向の累積積分値を可視化します。
この定義域で値のグリッドを作成します。
x = -2:0.1:2; y = -2:0.2:2; [X,Y] = meshgrid(x,y);
関数 をグリッド上で計算します。
F = 10*X.^2 + 20*Y.^2;
cumtrapz は関数式ではなく数値データを積分するため、一般的には基となる関数が不明でもデータの行列に cumtrapz を使用することができます。関数式が既知の場合は、代わりに integral、integral2 または integral3 を使用できます。
cumtrapz を使用して、2 重積分を近似します。
この 2 重積分を実行するには、cumtrapz の関数呼び出しを入れ子にして使用します。まず、内側の呼び出しでデータの行を積分してから、外側の呼び出しで列を積分します。
I = cumtrapz(y,cumtrapz(x,F,2));
元の関数を表す表面と累積積分を表す表面をプロットします。累積積分の表面上の各点は、2 重積分の中間値です。I の最後の値が、2 重積分全体の近似値 I(end) = 642.4 です。プロット内のこの点を赤の星でマークします。
surf(X,Y,F,'EdgeColor','none') xlabel('X') ylabel('Y') hold on surf(X,Y,I,'FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','none') plot3(X(end),Y(end),I(end),'r*') hold off
入力引数
ベクトル、行列または多次元配列として指定する数値データ。既定では、cumtrapz は、サイズが 1 でない Y の最初の次元で積分します。
データ型: single | double
複素数のサポート: あり
点の間隔。1 (既定)、等間隔を表すスカラー、または座標のベクトルとして指定します。
Xがスカラーの場合、データ点の等しい間隔を指定し、cumtrapz(X,Y)はX*cumtrapz(Y)と等価です。Xがベクトルの場合、データ点の x 座標を指定し、length(X)はYの積分の次元と同じサイズでなければなりません。
データ型: single | double
演算の対象の次元。正の整数のスカラーとして指定します。次元を指定しない場合、既定値はサイズが 1 でない最初の配列次元です。
2 次元の入力配列 Y について考えます。
cumtrapz(Y,1)は、Yの列の連続する要素を処理します。
cumtrapz(Y,2)は、Yの行の連続する要素を処理します。
dim が ndims(Y) よりも大きい場合、cumtrapz は Y と同じサイズのゼロの配列を返します。
ヒント
trapzとcumtrapzを使用して、離散データ セットで数値積分を実行します。データに関数式を使用できる場合は、代わりにintegral、integral2、またはintegral3を使用します。trapzは、演算対象の次元のサイズを 1 に減らし、最後の積分値のみを返します。cumtrapzは途中の積分値も返し、演算対象の次元のサイズを維持します。
