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`lsqcurvefit` または `lsqnonlin` を使用したマルチスタート

この例では、lsqcurvefit と MultiStart を組み合わせて使用して、関数をデータに適合させる方法を示します。例の最後では、lsqnonlin を使用した同じソリューションを示しています。

多くのフィッティング問題には複数のローカルソリューションが存在します。MultiStart は、最適なフィッティングを意味するグローバルソリューションを見つけるのに役立ちます。この例では、便利な構文のため、まず lsqcurvefit を使用します。

モデルは次のとおりです。

$y = a + b x_{1} \sin (c x_{2} + d),$

ここで、入力データは $x = (x_{1}, x_{2})$ であり、パラメーター $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、および $d$ は未知のモデル係数です。

手順 1: 目的関数を作成します。

N 行と 2 列のデータマトリックス xdata を受け取り、N 行の応答ベクトルを返す匿名関数を記述します。この関数は、係数ベクトル $(a, b, c, d)$ に対応する係数行列 p も受け取ります。

fitfcn = @(p,xdata)p(1) + p(2)*xdata(:,1).*sin(p(3)*xdata(:,2)+p(4));

手順 2: トレーニングデータを作成します。

200 個のデータポイントと応答を作成します。値 $a = - 3, b = 1 / 4, c = 1 / 2, d = 1$ を使用します。応答にランダムノイズを含めます。

rng default % For reproducibility
N = 200; % Number of data points
preal = [-3,1/4,1/2,1]; % Real coefficients

xdata = 5*rand(N,2); % Data points
ydata = fitfcn(preal,xdata) + 0.1*randn(N,1); % Response data with noise

手順 3: 境界と初期点を設定します。

lsqcurvefit の境界を設定します。正弦関数は幅 $2 π$ の任意の区間にわたってその全範囲の値を取るため、 $d$ が絶対値で $π$ を超える理由はありません。高い周波数を許可すると応答が不安定になったり、収束が不正確になったりする可能性があるため、係数 $c$ の絶対値は 20 より小さくする必要があると想定します。

lb = [-Inf,-Inf,-20,-pi];
ub = [Inf,Inf,20,pi];

初期点を任意に(5,5,5,0)に設定します。

p0 = 5*ones(1,4); % Arbitrary initial point
p0(4) = 0; % Ensure the initial point satisfies the bounds

手順 4: 最適なローカルフィットを見つけましょう。

p0 から始めて、パラメータをデータに適合させます。

[xfitted,errorfitted] = lsqcurvefit(fitfcn,p0,xdata,ydata,lb,ub)

Local minimum possible.

lsqcurvefit stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.

xfitted = 1×4

   -2.6149   -0.0238    6.0191   -1.6998

errorfitted = 28.2524

lsqcurvefit は、モデルパラメーター値 (–3,1/4,1/2,1) に特に近いわけではないローカルソリューションを見つけます。

手順 5: `MultiStart` の問題を設定します。

MultiStart が同じ問題を解決できるように問題構造を作成します。

problem = createOptimProblem('lsqcurvefit','x0',p0,'objective',fitfcn,...
    'lb',lb,'ub',ub,'xdata',xdata,'ydata',ydata);

手順 6.グローバルな解決策を見つけましょう。

MultiStart を使用して 50 回の反復でフィッティング問題を解きます。最小誤差を MultiStart 反復回数としてプロットします。

ms = MultiStart('PlotFcns',@gsplotbestf);
[xmulti,errormulti] = run(ms,problem,50)

MultiStart completed the runs from all start points. 

All 50 local solver runs converged with a positive local solver exitflag.

xmulti = 1×4

   -2.9852   -0.2472   -0.4968   -1.0438

errormulti = 1.6464

MultiStart は、パラメータ値 (–3,–1/4,–1/2,–1) 付近のグローバルソリューションを探します。（これは、preal = (–3,1/4,1/2,1) 付近の解に相当します。最初の係数を除くすべての係数の符号を変更すると、fitfcn と同じ数値が得られるためです。）残差誤差のノルムは約 28 から約 1.6 に減少し、10 倍以上の減少となります。

`lsqnonlin` の問題を定式化する

別の方法として、フィッティング関数として lsqnonlin を使用します。この場合、予測値と実際のデータ値の差を目的関数として使用します。

fitfcn2 = @(p)fitfcn(p,xdata)-ydata;
[xlsqnonlin,errorlsqnonlin] = lsqnonlin(fitfcn2,p0,lb,ub)

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the value of the function tolerance.

xlsqnonlin = 1×4

   -2.6149   -0.0238    6.0191   -1.6998

errorlsqnonlin = 28.2524

同じ初期点 p0 から開始して、 lsqnonlin は lsqcurvefit と同じ比較的貧弱な解を見つけます。

lsqnonlin をローカルソルバーとして使用して MultiStart を実行します。

problem2 = createOptimProblem('lsqnonlin','x0',p0,'objective',fitfcn2,...
    'lb',lb,'ub',ub');
[xmultinonlin,errormultinonlin] = run(ms,problem2,50)

MultiStart completed the runs from all start points. 

All 50 local solver runs converged with a positive local solver exitflag.

xmultinonlin = 1×4

   -2.9852   -0.2472   -0.4968   -1.0438

errormultinonlin = 1.6464

ここでも、MultiStart はローカルソルバーのみよりもはるかに優れたソリューションを見つけます。

lsqcurvefit または lsqnonlin を使用したマルチスタート