実行可能な開始点のみを使用して最適化する

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実行可能な開始点のみを使用して最適化する

StartPointsToRun オプションを設定すると、MultiStart と GlobalSearch は不等式制約を満たす開始点のみを使用するようになります。このオプションを使用すると、ローカルソルバーが実行可能な領域を探索する必要がないため、最適化が高速化されます。ただし、このオプションを使用すると、ソルバーがいくつかの引き込み領域を見逃す可能性があります。

StartPointsToRun オプションには 3 つの設定があります。

all — すべての開始点を受け入れる
bounds — 境界を満たさない開始点を拒否します
bounds-ineqs — 境界または不等式制約を満たさない開始点を拒否します

例えば、目的関数が

function y = tiltcircle(x)
vx = x(:)-[4;4]; % ensure vx is in column form
y = vx'*[1;1] + sqrt(16 - vx'*vx); % complex if norm(x-[4;4])>4

tiltcircle は norm(x - [4 4]) > 4 の複素数値を返します。

図を生成するコード

norm(x - [4 4]) > 4となる集合上で正となる制約関数を書きなさい。

function [c ceq] = myconstraint(x)
ceq = [];
cx = x(:) - [4;4]; % ensure x is a column vector
c = cx'*cx - 16; % negative where tiltcircle(x) is real

不等式制約を満たす開始点のみを使用するように GlobalSearch を設定します。

gs = GlobalSearch('StartPointsToRun','bounds-ineqs');

例を完了するには、問題構造を作成し、ソルバーを実行します。

opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point');
problem = createOptimProblem('fmincon',...
    'x0',[4 4],'objective',@tiltcircle,...
    'nonlcon',@myconstraint,'lb',[-10 -10],...
    'ub',[10 10],'options',opts);
rng(7,'twister'); % for reproducibility
[x,fval,exitflag,output,solutionset] = run(gs,problem)

GlobalSearch stopped because it analyzed all the trial points.

All 5 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.

x =

    1.1716    1.1716


fval =

   -5.6530


exitflag =

     1


output =

  struct with fields:

                funcCount: 3242
         localSolverTotal: 5
       localSolverSuccess: 5
    localSolverIncomplete: 0
    localSolverNoSolution: 0
                  message: 'GlobalSearch stopped because it analyzed all the trial po...'

solutionset = 

  1x4 GlobalOptimSolution array with properties:

    X
    Fval
    Exitflag
    Output
    X0

局所最小値を持つ傾斜円

図を生成するコード

tiltcircle 関数には局所的最小値が 1 つだけあります。しかし、GlobalSearch (fmincon) はいくつかの時点で停止します。これはfminconがエラーを起こしていることを意味しますか?

fmincon が複数の境界点で停止する理由は微妙です。tiltcircle 関数は、1 次元の計算からわかるように、境界上で無限の勾配を持ちます。

$\frac{d}{d x} \sqrt{16 - x^{2}} = \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \pm \infty at | x | = 4.$

したがって、境界に対して垂直な勾配が非常に大きくなります。この勾配は線形項からの小さな追加傾斜を圧倒します。fmincon が知る限り、境界点は制約問題に対する定常点です。

この動作は、平方根を持つ関数があるときはいつでも発生する可能性があります。

実行可能な開始点のみを使用して最適化する

参考

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