実行可能な開始点のみを使用して最適化する

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StartPointsToRun オプションを設定すると、MultiStart と GlobalSearch は不等式制約を満たす開始点のみを使用するようになります。このオプションを使用すると、ローカルソルバーが実行可能な領域を検索する必要がないため、最適化を高速化できます。ただし、このオプションを使用すると、ソルバーがいくつかの吸引域を見逃す可能性があります。

StartPointsToRun オプションには 3 つの設定があります。

all — すべての開始点を受け入れます
bounds — 境界を満たさない開始点を拒否します
bounds-ineqs — 境界または不等式制約を満たさない開始点を拒否します

たとえば、次のような目的関数があるとします。

function y = tiltcircle(x)
vx = x(:)-[4;4]; % ensure vx is in column form
y = vx'*[1;1] + sqrt(16 - vx'*vx); % complex if norm(x-[4;4])>4

tiltcircle は norm(x - [4 4]) > 4 の複素数値を返します。

図を生成するコード

norm(x - [4 4]) > 4となる集合上で正となる制約関数を記述する。

function [c ceq] = myconstraint(x)
ceq = [];
cx = x(:) - [4;4]; % ensure x is a column vector
c = cx'*cx - 16; % negative where tiltcircle(x) is real

不等式制約を満たす開始点のみを使用するように GlobalSearch を設定します。

gs = GlobalSearch('StartPointsToRun','bounds-ineqs');

例を完了するには、問題構造を作成し、ソルバーを実行します。

opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','interior-point');
problem = createOptimProblem('fmincon',...
    'x0',[4 4],'objective',@tiltcircle,...
    'nonlcon',@myconstraint,'lb',[-10 -10],...
    'ub',[10 10],'options',opts);
rng(7,'twister'); % for reproducibility
[x,fval,exitflag,output,solutionset] = run(gs,problem)

GlobalSearch stopped because it analyzed all the trial points.

All 5 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.

x =

    1.1716    1.1716


fval =

   -5.6530


exitflag =

     1


output =

  struct with fields:

                funcCount: 3242
         localSolverTotal: 5
       localSolverSuccess: 5
    localSolverIncomplete: 0
    localSolverNoSolution: 0
                  message: 'GlobalSearch stopped because it analyzed all the trial po...'

solutionset = 

  1x4 GlobalOptimSolution array with properties:

    X
    Fval
    Exitflag
    Output
    X0

局所最小値を持つ傾斜円

図を生成するコード

tiltcircle 関数には局所最小値が 1 つだけあります。しかし、GlobalSearch (fmincon) はいくつかのポイントで停止します。これはfminconがエラーを起こすことを意味しますか?

fmincon が複数の境界点で停止する理由は微妙です。1 次元の計算からわかるように、tiltcircle 関数は境界上で無限の勾配を持ちます。

$\frac{d}{d x} \sqrt{16 - x^{2}} = \frac{- x}{\sqrt{16 - x^{2}}} = \pm \infty at | x | = 4.$

したがって、境界に対して垂直な勾配が非常に大きくなります。この勾配は、線形項からの小さな追加傾斜を圧倒します。fmincon が知る限り、境界点は制約問題に対する定常点です。

この動作は、平方根を持つ関数がある場合に必ず発生する可能性があります。

実行可能な開始点のみを使用して最適化する

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