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interp1

四元数の内挿 (テーブル ルックアップ)

R2025a 以降

構文

vq = interp1(x,v,xq)

vq = interp1(x,v,xq,method)

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation)

vq = interp1(v,xq)

vq = interp1(v,xq,method)

vq = interp1(v,xq,method,extrapolation)

説明

vq = interp1(x,v,xq) は、球面線形内挿 (SLERP) を使用して、特定のクエリ点における 1 次元関数の四元数値を内挿します。x はサンプル点を指定し、v は対応する値 v(x) を含む四元数を指定します。xq はクエリ点を指定します。既定では、関数は "slerp-short" 内挿法を使用します。

vq = interp1(x,v,xq,method) は、内挿法を指定します。

vq = interp1(x,v,xq,method,extrapolation) は、x の領域の外側にある xq のすべてのクエリ点に対して返す四元数値を指定します。

vq = interp1(v,xq) は、既定のサンプル点のセットを想定して四元数値を内挿します。既定の点は、1 から n までの数列です。ここで、n は v の形状によって異なります。

• v が四元数のベクトルの場合、既定の点は 1:length(v) です。

• v が四元数の配列の場合、既定の点は 1:size(v,1) です。

この構文は、サンプル点の間の絶対距離を考慮しない場合に使用します。

vq = interp1(v,xq,method) は、内挿法を指定し、既定のサンプル点を使用します。

vq = interp1(v,xq,method,extrapolation) は、外挿値を指定し、既定のサンプル点を使用します。

例

サンプル点を使用して定義された四元数関数を内挿

サンプル点 x と対応するサンプル値 v を定義します。

x = [1 2 5 6];
eul = [-185:45:-50; -20*ones(1,4); zeros(1,4)]';
v = quaternion(eul,"eulerd","ZYX","frame");

x の範囲でクエリ点を定義します。

xq = [1.5 3 4 5.4];

クエリ点で内挿します。

vq = interp1(x,v,xq);

結果を可視化するには、サンプルと内挿後の四元数を使用して同じ点を回転させます。

pts_samples = rotatepoint(v,[1.05 0 0]);
pts_query = rotatepoint(vq,[1.05 0 0]);

単位球面をプロットし、その球面上にサンプルと内挿後の四元数をプロットします。

figure
[X,Y,Z] = sphere;
surf(X,Y,Z,FaceAlpha=0.5,EdgeAlpha=0.35)
colormap gray
hold on
scatter3(pts_samples(:,1),pts_samples(:,2),pts_samples(:,3),"filled")
scatter3(pts_query(:,1),pts_query(:,2),pts_query(:,3),"filled")
exampleHelperAnnotateQuats(pts_samples,pts_query,x,xq,10,1.05)
axis equal
title(["Interpolated Quaternions Visualized","Using Rotated Points"])
legend("","Sample Quaternions (v)","Interpolated Quaternions (vq)")

サンプル点の指定なしで四元数を内挿

一連の関数値を定義します。

eul = [-170:20:-70; -20*sind(0:72:360)-25; zeros(1,6)]';
v = quaternion(eul,"eulerd","ZYX","frame");

既定の点 1:6 の範囲で一連のクエリ点を定義します。この場合、v が 6 要素の quaternion 配列であるため、既定の点は 1:6 です。

xq = [1.5 2.6 3.5 4.5 5.5];

SQUAD 自然内挿法を使用して、xq における v を評価します。ここで既定の "slerp-short" 内挿法も使用できますが、この四元数関数で記述している正弦波回転については、SQUAD の方が内挿後のパスが滑らかになることに注意してください。

vq = interp1(v,xq,"squad-natural");

結果を可視化するには、サンプルと内挿後の四元数を使用して "x" 軸の点を回転させます。

pts_samples = rotatepoint(v,[1.05 0 0]); 
pts_query = rotatepoint(vq,[1.05 0 0]);

単位球面をプロットし、その球面上にサンプルと内挿後の四元数をプロットします。

figure
[X,Y,Z] = sphere;
surf(X,Y,Z,FaceAlpha=0.5,EdgeAlpha=0.35)
colormap gray
hold on
scatter3(pts_samples(:,1),pts_samples(:,2),pts_samples(:,3),"filled")
scatter3(pts_query(:,1),pts_query(:,2),pts_query(:,3),"filled")
exampleHelperAnnotateQuats(pts_samples,pts_query,1:6,xq,9,1.05)
axis equal
title(["Interpolated Quaternions Visualized","Using Rotated Points"])
legend("","Sample Quaternions (v)","Interpolated Quaternions (vq)")

SQUAD 内挿を使用して滑らかな角速度を取得

異なる向きを表す 3 つの四元数を定義します。

q0 = quaternion([0 0 0],"euler","ZYX","frame");
q1 = quaternion([pi/4 pi/6 pi/3],"euler","ZYX","frame");
q2 = quaternion([pi/2 pi/4 pi/2],"euler","ZYX","frame");

元のキーフレームの時間ベクトルを作成します。

x = [1 2 3];

内挿の時間ベクトルを作成します。

T = linspace(0,3,300);

interp1 で "slerp-natural" と "squad-natural" の手法を使用して内挿を行います。

quats_slerp = interp1(x,[q0 q1 q2],T,"slerp-natural")';
quats_squad = interp1(x,[q0 q1 q2],T,"squad-natural")';

両方の内挿法の角速度を計算します。

ang_vel_slerp = angvel(quats_slerp,T(2)-T(1),"frame");
ang_vel_squad = angvel(quats_squad,T(2)-T(1),"frame");

角速度をプロットします。

tl = tiledlayout(2,1);
title(tl,"Angular Velocity - SLERP vs SQUAD")

SLERP と SQUAD の内挿の角速度をプロットします。SQUAD の内挿による角速度の方が SLERP を使用した内挿よりも滑らかになっていることに注目してください。

nexttile
plot(T,ang_vel_slerp)
ylim padded
title("SLERP Natural")
legend("X","Y","Z")
nexttile
plot(T,ang_vel_squad)
ylim padded
title("SQUAD Natural")
xlabel(tl,"Time")
ylabel(tl,"Angular Velocity (rad/s)")

x の領域の外側にあるすべてのクエリに定数値を指定

サンプル点 x と対応するサンプル値 v を定義します。

x = [0 1 2];
eul = [0 30 60; 0 20 60; zeros(1,3)]';
v = quaternion(eul,"eulerd","ZYX","frame");

x の領域を越えるクエリ点 xq を指定します。

xq = [-0.5 0.5 1.5 2.5];

次に、"slerp-short" 内挿法を使用して xq における v を評価します。ここで、x の領域の外側にある値については、すべての部分が 0 に設定された四元数に割り当てます。

vq = interp1(x,v,xq,"slerp-short",ones("quaternion"))'

vq = 4×1 quaternion array
            1 +        0i +        0j +        0k
      0.98774 + 0.022751i - 0.084907j -  0.12903k
      0.87097 +    0.151i -  0.30755j -  0.35217k
            1 +        0i +        0j +        0k

入力引数

x — サンプル点

N 要素ベクトル

サンプル点。実数の N 要素ベクトルとして指定します。x には少なくとも 2 つのサンプル点が含まれていなければならず、x の値はそれぞれ異なっていなければなりません。x の長さは v の形状によって異なります。

• v が四元数のベクトルの場合、length(x) は length(v) と等しくなければなりません。

• v が四元数の配列の場合、length(x) は size(v,1) と等しくなければなりません。

例: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]

例: 1:10

例: [3 7 11 15 19 23 27 31]'

v — サンプル四元数

quaternion オブジェクトの N 要素配列 | quaternion オブジェクトの配列

サンプル四元数。quaternion オブジェクトの N 要素ベクトル、または quaternion オブジェクトの配列として指定します。

同じクエリ点でサンプリングされたデータのセットが複数ある場合、v を配列として指定できます。配列の列ごとに異なる 1 次元サンプル値のセットが含まれていなければならず、最初の次元の長さは N でなければなりません。ここで、N は指定されたサンプル点 x の数です。

xq — クエリ点

スカラー | ベクトル | 行列 | 配列

クエリ点。実数のスカラー、ベクトル、行列、または配列として指定します。

例: 5

例: 1:0.05:10

例: (1:0.05:10)'

例: [0 1 2 7.5 10]

method — 内挿法

"slerp-short" (既定値) | "slerp-natural" | "squad-natural" | "nearest" | "next" | "previous"

内挿法。次の表のオプションのいずれかとして指定します。

手法	説明	連続性	コメント
"slerp-short"	内挿係数によるサンプル四元数間の球面線形内挿。サンプル四元数間の最短の内挿パスが選択されます。 必ず最短のパスになるように、各サンプル点で入力と出力の四元数が反転される場合があることに注意してください。 SLERP アルゴリズムの詳細については、SLERP アルゴリズムを参照してください。	C0	少なくとも 2 つのサンプル四元数が必要 必要なメモリは少ない 計算時間は効率的 最短パスを必ず内挿する 計算時間は最も速い
"slerp-natural"	内挿係数によるサンプル四元数間の球面線形内挿。サンプル四元数間の自然な内挿パスが選択されます。 入力と出力の四元数は、サンプル点において同じ符号になります。 SLERP アルゴリズムの詳細については、SLERP アルゴリズムを参照してください。	C0	少なくとも 2 つのサンプル四元数が必要 必要なメモリは少ない 計算時間は効率的 入力と出力の四元数は、サンプル点において同じ符号になります。
"squad-natural"	サンプル四元数間の球面四角形内挿。加速度が段階的に変化する滑らかな連続遷移になります。 入力と出力の四元数は、サンプル点において同じ符号になります。 SQUAD アルゴリズムの詳細については、SQUAD アルゴリズムを参照してください。	C1	少なくとも 2 つのサンプル四元数が必要 必要なメモリは中程度 計算時間は効率的 滑らかな遷移と段階的な加速度の変化を維持
"nearest"	最近傍による内挿。最も近いサンプル四元数の値がクエリ点の内挿値になります。	不連続	少なくとも 2 つのサンプル四元数が必要 必要なメモリは多くない
"next"	次の近傍による内挿。次のサンプル四元数の値がクエリ点の内挿値になります。	不連続	少なくとも 2 つのサンプル四元数が必要。 必要なメモリおよび計算時間は "nearest" と同じ
"previous"	前の近傍による内挿。前のサンプル四元数の値がクエリ点の内挿値になります。	不連続	少なくとも 2 つのサンプル四元数が必要。 必要なメモリおよび計算時間は "nearest" と同じ

extrapolation — 外挿四元数

nan("quaternion") (既定値) | quaternion オブジェクト

外挿四元数。quaternion オブジェクトとして指定します。interp1 は、x の領域の外側をクエリする xq のすべての値に対してこの四元数を返します。

例: interp1([0 1 2],quats,2.5,"slerp-natural") は、値 NaN + NaNi + NaNj + NaNk の四元数を返します。

例: interp1([0 1 2],quats,2.5,"slerp-natural",zeros("quaternion")) は、値 0 + 0i + 0j + 0k の四元数を返します。

出力引数

vq — 内挿された四元数

スカラー | ベクトル | 行列 | 配列

内挿値。スカラー、ベクトル、行列、または配列として返されます。vq のサイズは v と xq の形状によって異なります。

v の形状	xq の形状	vq のサイズ	例
ベクトル	ベクトル	size(xq)	size(v) = [1 100]、 size(xq) = [1 500] の場合、 size(vq) = [1 500] となります。
ベクトル	行列 または N 次元配列	size(xq)	size(v) = [1 100]、 size(xq) = [50 30] の場合、 size(vq) = [50 30] となります。
配列	ベクトル	[length(xq) size(v,2),...,size(v,n)]	size(v) = [100 3]、 size(xq) = [1 500] の場合、 size(vq) = [500 3] となります。
配列	行列 または N 次元配列	[size(xq,1),...,size(xq,n),... size(v,2),...,size(v,m)]	size(v) = [4 5 6]、 size(xq) = [2 3 7] の場合、 size(vq) = [2 3 7 5 6] となります。

アルゴリズム

SLERP アルゴリズム

四元数の球面線形内挿 (SLERP) は、平面に沿った線形内挿を 3 次元の球面内挿に拡張したものです。このアルゴリズムは、[1]で初めて提案されました。2 つの四元数 q₁ と q₂ を与えると、SLERP は q₁ と q₂ を連結する大圏に沿って新しい四元数 q₀ を内挿します。内挿係数 T により、出力の四元数が q₁ と q₂ のいずれかにどの程度近くなるかが決まります。

SLERP アルゴリズムは正弦波で記述できます。

$$q_0=\frac{\sin \left((1-T)\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}{q}_1+\frac{\sin \left(T\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}{q}_2$$

ここで、q₁ と q₂ は正規化された四元数、θ は q₁ と q₂ の間の角距離の半分です。

SQUAD アルゴリズム

四元数の球面四角形 (SQUAD) 内挿は、一連の四元数間の内挿用に SLERP 内挿法を拡張したものです[2]。中間の制御四元数を導入することで、複数の四元数キーフレーム間で連続した滑らかな角速度が得られます。これは、ベジエ曲線において、直交座標空間で滑らかなパスを作成するために制御点が使用されるのによく似ています。SQUAD アルゴリズムは、入力引数 v を使用して指定された連続する四元数キーフレームの各ペアの間で 2 つの制御四元数を計算し、四元数キーフレームの各ペアで四角形を形成します。各四元数キーフレーム ペアの内挿されたパス間の遷移を確実に滑らかにするために、これらの制御四元数の計算には隣接する四元数キーフレームも影響します。

SQUAD 内挿アルゴリズムは、まず、slerp 関数の入力引数 T に対応する内挿係数 h を使用して、四元数 q_i と q_i+1 の間で SLERP を使用します。次に、SLERP を使用して制御四元数 s_i と s_i+1 の間を内挿します。最後に、2h(1–h) を内挿係数として使用し、それらの 2 つの SLERP パス間で SLERP を使用して SQUAD の内挿されたパスを取得します。最後の SLERP で二次関数である内挿係数 2h(1–h) を使用することで、この内挿が線形のまっすぐなパスでなく、必ず滑らかな曲線のパスになります。

方程式の形式では、内挿係数 h を使用した q_i と q_i+1 の間の SQUAD 内挿は次のように定義されます。

$$Squad(q_i,q_{i+1},s_i,s_{i+1},h)=Slerp(Slerp(q_i,q_{i+1},h),Slerp(s_i,s_{i+1},h),2h(1-h))\text{,}$$

ここで、s_i と s_i+1 は次の方程式を使用して定義される制御四元数です。

$$s_i=q_i\exp \left(-\frac{\log (q_i^{-1}{q}_{i+1})+\log (q_i^{-1}{q}_{i-1})}{4}\right)$$

参照

[1] Shoemake, Ken. "Animating Rotation with Quaternion Curves." ACM SIGGRAPH Computer Graphics 19, no. 3 (July 1985): 245–54. https://doi.org/10.1145/325165.325242.

[2] Dam, Erik B., Martin Koch, and Martin Lillholm. Quaternions, Interpolation and Animation. Technical Report DIKU-TR-98/5. Department of Computer Science, University of Copenhagen, July 17, 1998. https://web.mit.edu/2.998/www/QuaternionReport1.pdf.

拡張機能

C/C++ コード生成
MATLAB® Coder™ を使用して C および C++ コードを生成します。

バージョン履歴

R2025a で導入

参考

quaternion | slerp